производная функция фирмы имеет вид q равно 30 под корнем л и л объём используемого труда ставка зарплаты в = 15 цена готовой продукции p = 5 определите размер максимальной прибыли

Задача: функция выпуска q(Л) = 30 √L, ставка заработной платы w = 15, цена готовой продукции p = 5. Найти размер максимальной прибыли.

Решение (пошагово):

1. Запишем зависимость прибыли от величины используемого труда L.

• Выпуск: q(L) = 30 √L
• Выручка: R = p q = 5 · 30 √L = 150 √L
• Издержки на труд: C = w L = 15 L
• Прибыль: π(L) = R − C = 150 √L − 15 L

2. Найдём максимум прибыли по L.

• Производная прибыли: dπ/dL = 150 · (1/(2√L)) − 15 = 75/√L − 15
• Прибыль максимальна там, где dπ/dL = 0: 75/√L − 15 = 0 ⇒ 75/√L = 15 ⇒ √L = 5 ⇒ L* = 25

3. Проверка на максимум.

• Вторая производная: d²π/dL² = −75/(2 L^(3/2)) < 0 для L > 0. Значит, точка L* = 25 действительно максимум.

4. Величины на максимум.

• Выпуск: q* = q(L*) = 30 √25 = 30 · 5 = 150
• Выручка: R* = p q* = 5 · 150 = 750
• Издержки на труд: C* = w L* = 15 · 25 = 375
• Прибыль: π* = R* − C* = 750 − 375 = 375

Дополнительная проверка (альтернатива через маржинальный подход):

• Маржинальная продуктивность труда: dq/dL = 30 · (1/2) L^(−1/2) = 15/√L
• Рыночная маржинальная выручка на труд: MRP_L = p · dq/dL = 5 · (15/√L) = 75/√L
• Прибыль максимальна при равенстве MRP_L и w: 75/√L = 15 ⇒ √L = 5 ⇒ L* = 25 (то же значение).

Ответ:

• Максимальная прибыль π* = 375 единиц денежных.
• Оптимальный объём используемого труда L* = 25.
• Оптимальный выпуск продукции q* = 150.