Производная функция фирмы имеет вид q равно 30 под корнем л и л объём используемого труда ставка зарплаты в = 15 цена готовой продукции p = 5 определите размер максимальной прибыли

Задача: функция выпуска q(Л) = 30 √L, ставка заработной платы w = 15, цена готовой продукции p = 5. Найти размер максимальной прибыли. Решение (пошагово): 1) Запишем зависимость прибыли от величины используемого труда L. - Выпуск: q(L) = 30 √L - Выручка: R = p q = 5 · 30 √L = 150 √L - Издержки на труд: C = w L = 15 L - Прибыль: π(L) = R − C = 150 √L − 15 L 2) Найдём максимум прибыли по L. - Производная прибыли: dπ/dL = 150 · (1/(2√L)) − 15 = 75/√L − 15 - Прибыль максимальна там, где dπ/dL = 0: 75/√L − 15 = 0 ⇒ 75/√L = 15 ⇒ √L = 5 ⇒ L* = 25 3) Проверка на максимум. - Вторая производная: d²π/dL² = −75/(2 L^(3/2)) < 0 для L > 0. Значит, точка L* = 25 действительно максимум. 4) Величины на максимум. - Выпуск: q* = q(L*) = 30 √25 = 30 · 5 = 150 - Выручка: R* = p q* = 5 · 150 = 750 - Издержки на труд: C* = w L* = 15 · 25 = 375 - Прибыль: π* = R* − C* = 750 − 375 = 375 Дополнительная проверка (альтернатива через маржинальный подход): - Маржинальная продуктивность труда: dq/dL = 30 · (1/2) L^(−1/2) = 15/√L - Рыночная маржинальная выручка на труд: MRP_L = p · dq/dL = 5 · (15/√L) = 75/√L - Прибыль максимальна при равенстве MRP_L и w: 75/√L = 15 ⇒ √L = 5 ⇒ L* = 25 (то же значение). Ответ: - Максимальная прибыль π* = 375 единиц денежных. - Оптимальный объём используемого труда L* = 25. - Оптимальный выпуск продукции q* = 150.