представь в виде бесконечной десятичной дроби число 2/3

Цель: понять. Задача: представить число 2/3 как бесконечную десятичную дробь.

Краткий ответ

• 2/3 = 0.666666... = 0.\overline{6} (бесконечная повторяющаяся десятичная дробь).

Пошаговое объяснение

1. Простой способ через длинное деление

• Делим 2 на 3.
• 3 не помещается в 2, ставим запятую и добавляем ноль: 20.
• 3 поместится в 20 шесть раз (6×3 = 18), остаётся остаток 2.
• Снова добавляем ноль к остатку: получаем 20, снова 6 и снова остаток 2.
• Видим повторение: цифра после запятой постоянно 6, и цикл повторяется бесконечно.
• Значит десятичная дробь: 0.666666... = 0.\overline{6}.

2. Через алгебраическое обозначение

• Пусть x = 0.666666… .
• Умножим на 10: 10x = 6.666666…
• Вычтем уравнение: 10x − x = 6.666… − 0.666… → 9x = 6
• Откуда x = 6/9 = 2/3.
• Таким образом, 2/3 = 0.666666… = 0.\overline{6}.

3. Дополнительное пояснение (почему бесконечная)

• Число в виде дроби a/b в десятичной системе заканчивается (имеет конечную десятичную дробь) тогда и только тогда, когда после сокращения знаменатель b состоит только из делителей 2 и/или 5.
• Здесь b = 3, что содержит простое число 3, не является 2 или 5. Поэтому десятичная форма бесконечная и повторяющаяся.
• Повторение может быть видно как повтор цикла в делении или через сумму геометрической серии: 0.666… = 6×10^−1 + 6×10^−2 + 6×10^−3 + … = 6×(1/10 + 1/100 + 1/1000 + …) = 6×(1/9) = 2/3.

Итого

• Число 2/3 в бесконечной десятичной дроби записывается как 0.\overline{6} (0.666666…).