Функция y=ax^2

Разберём функцию y = a x^2. Это базовая квадратичная функция, где единственный параметр — a. 1) Общие свойства - Область определения: для всех вещественных x, т. е. (-∞, +∞). - Координаты вершины и ось симметрии: вершина параболы в точке (0, 0); ось симметрии — ось y (x = 0). - Занесённое значение в точке x = 0: y = a·0^2 = 0, так что y-отрезок (y-перехват) равен 0. - Направление ветвей: - если a > 0, график открывается вверх (как буква U); - если a < 0, график открывается вниз (как буква ∩). - Ширина/parabola зависит от модуля a: - чем больше |a|, тем «уже» парабола (она становится круче); - чем меньше |a| (но не ноль), тем она шире. - если a = 0, функция превращается в горизонтальную прямую y = 0 ( degenerate case). 2) Диапазон значений и корни - Занятие корнями: решим ax^2 = 0 → x = 0. У параболы один кратный корень в x = 0. - Диапазон (множество значений y): - при a > 0: y ≥ 0; - при a < 0: y ≤ 0; - при a = 0: y = 0 для всех x (degenerate). 3) Строение графика через параметр a - Формула остаётся в виде y = a x^2 — это простая масштабная трансформация базовой функции y = x^2: - умножение на a с положительным знаком растягивает/сжимает по вертикали и изменяет направление ветвей. - если взять y = x^2 и умножить на a: - a > 1 — график более узкий; - 0 < a < 1 — график более широкий; - a < 0 — вверх/вниз меняются местами и вершина остаётся в начале координат. 4) Примеры и задачи по наглядности - Пример 1: y = 2x^2 - направление: вверх, вершина в (0,0) - парабола узкая (плотная) - диапазон: y ≥ 0 - корень: x = 0 (единственный двойной корень) - Пример 2: y = -3x^2 - направление: вниз, вершина в (0,0) - парабола узкая (крутая) - диапазон: y ≤ 0 - корень: x = 0 - Пример 3: график проходит через точку (x1, y1) с x1 ≠ 0 - из y1 = a x1^2 получаем a = y1 / x1^2 - если, например, точка (4, 32): a = 32 / 16 = 2 → y = 2x^2 - если точка (3, -6) и требуется a < 0: a = -6 / 9 = -2/3 → y = -(2/3)x^2 - Пример 4: можно проверить несовпадение точки - график y = a x^2 всегда проходит через (0, 0). Значение любой точки на оси x ≠ 0 даёт информацию о a. 5) Короткие практические выводы - Чтобы понять график y = a x^2: - смотрим знак a: вверх или вниз? - смотрим величину |a|: как широким или узким будет график? - вершина всегда в (0,0); ось симметрии — x = 0 - единственный x-пересечение — x = 0; y-пересечение — y = 0 - Если нужно подобрать a под условие графика (например, через заданную точку или через заданное свойство), используем формулу a = y1 / x1^2 для точки с x1 ≠ 0. Если хочешь, могу привести конкретные задачи под твою домашку: например, определить a по заданной точке, нарисовать график для заданного a или найти диапазон значений y. Напиши, какой формат задач у тебя в учебнике, и приведу пошаговое решение.