функция y=ax^2

Разберём функцию y = a x^2. Это базовая квадратичная функция, где единственный параметр — a.

1. Общие свойства

• Область определения: для всех вещественных x, т. е. (-∞, +∞).
• Координаты вершины и ось симметрии: вершина параболы в точке (0, 0); ось симметрии — ось y (x = 0).
• Занесённое значение в точке x = 0: y = a·0^2 = 0, так что y-отрезок (y-перехват) равен 0.
• Направление ветвей:
  • если a > 0, график открывается вверх (как буква U);
  • если a < 0, график открывается вниз (как буква ∩).
• Ширина/parabola зависит от модуля a:
  • чем больше |a|, тем «уже» парабола (она становится круче);
  • чем меньше |a| (но не ноль), тем она шире.
  • если a = 0, функция превращается в горизонтальную прямую y = 0 ( degenerate case).

2. Диапазон значений и корни

• Занятие корнями: решим ax^2 = 0 → x = 0. У параболы один кратный корень в x = 0.
• Диапазон (множество значений y):
  • при a > 0: y ≥ 0;
  • при a < 0: y ≤ 0;
  • при a = 0: y = 0 для всех x (degenerate).

3. Строение графика через параметр a

• Формула остаётся в виде y = a x^2 — это простая масштабная трансформация базовой функции y = x^2:
  • умножение на a с положительным знаком растягивает/сжимает по вертикали и изменяет направление ветвей.
  • если взять y = x^2 и умножить на a:
    • a > 1 — график более узкий;
    • 0 < a < 1 — график более широкий;
    • a < 0 — вверх/вниз меняются местами и вершина остаётся в начале координат.

4. Примеры и задачи по наглядности

• Пример 1: y = 2x^2

  • направление: вверх, вершина в (0,0)
  • парабола узкая (плотная)
  • диапазон: y ≥ 0
  • корень: x = 0 (единственный двойной корень)

• Пример 2: y = -3x^2

  • направление: вниз, вершина в (0,0)
  • парабола узкая (крутая)
  • диапазон: y ≤ 0
  • корень: x = 0

• Пример 3: график проходит через точку (x1, y1) с x1 ≠ 0

  • из y1 = a x1^2 получаем a = y1 / x1^2
  • если, например, точка (4, 32): a = 32 / 16 = 2 → y = 2x^2
  • если точка (3, -6) и требуется a < 0: a = -6 / 9 = -2/3 → y = -(2/3)x^2

• Пример 4: можно проверить несовпадение точки

  • график y = a x^2 всегда проходит через (0, 0). Значение любой точки на оси x ≠ 0 даёт информацию о a.

5. Короткие практические выводы

• Чтобы понять график y = a x^2:
  • смотрим знак a: вверх или вниз?
  • смотрим величину |a|: как широким или узким будет график?
  • вершина всегда в (0,0); ось симметрии — x = 0
  • единственный x-пересечение — x = 0; y-пересечение — y = 0
• Если нужно подобрать a под условие графика (например, через заданную точку или через заданное свойство), используем формулу a = y1 / x1^2 для точки с x1 ≠ 0.

Если хочешь, могу привести конкретные задачи под твою домашку: например, определить a по заданной точке, нарисовать график для заданного a или найти диапазон значений y. Напиши, какой формат задач у тебя в учебнике, и приведу пошаговое решение.