В тувинском языке слово дыштаныр в конце два Ы или один

Короткий ответ: в конце один гласный «ы».

Пояснение пошагово:

• Пишем слово так: д ы ш т а н ы р.
• Последние две буквы — «ыр», то есть суффикс -ыр (вариант суффекта времени/какого-то грамматического значения в тувинских глаголах; аналогично другим тюркским языкам, где суффикс меняетая по гармонии).
• Таким образом, на самом конце у слова один гласный — «ы» (перед последующей буквой «р»).
• В слове всего две буквы «ы»: одна присутствует внутри корня/основы (последовательность «ды»), другая — часть суффикса «ыр».

Итог: endings «-ыр» содержит один «ы»; в слове всего два «ы» (один внутри основы и один в суффиксе). Если нужно, могу привести аналогичные примеры с суффиксами -ır/-ir/-ur/-ür в тувинском языке и объяснить, как определяется вариант суффикса по гармонии гласных.