решить

Разберём каждое выражение и найдём его область определения (для действительных чисел).

Правило: рациональные выражения определены там, где знаменатели не равны нулю.

a) x^3 − 4x^2 + 5

• Это полином. Знаменателей нет, выражение определено при любом x.
• Область определения: все действительные числа, (-∞, ∞).

b) 10x − (6x + 1)/7

• Здесь знаменатель дроби равен 7, он не может быть нулём, но 7 ≠ 0.
• Область определения: все действительные числа, (-∞, ∞).

c) (x + 11)/(x − 12) − 3/x

• Дроби имеют знаменатели x − 12 и x.
• Запрещённые значения: x − 12 = 0 → x = 12; x = 0.
• Область определения: R \ {0, 12} = (-∞, 0) ∪ (0, 12) ∪ (12, ∞).

d) 17/(x^2 − 6x) + 5/(x + 6)

• Длины знаменателей: x^2 − 6x и x + 6.
• x^2 − 6x = x(x − 6); нули: x = 0 и x = 6. Также x + 6 = 0 при x = −6.
• Область определения: R \ {−6, 0, 6} = (-∞, −6) ∪ (−6, 0) ∪ (0, 6) ∪ (6, ∞).

e) 100/(x^2 − 81) − 9/(x^2 + 81)

• Первый знаменатель: x^2 − 81 = (x − 9)(x + 9); нули: x = ±9.
• Второй знаменатель: x^2 + 81 > 0 для любого действительного x, поэтому здесь ограничений нет.
• Область определения: R \ {−9, 9} = (−∞, −9) ∪ (−9, 9) ∪ (9, ∞).