В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 60°. Найдите отношение AD: DC, где D точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом АС.

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C угол B = 60°. D — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе AB с катетом AC. Найти отношение AD:DC.

Пошаговое решение

1. Установим удобную систему координат.

• Пусть C = (0, 0). Пусть AC лежит по оси x, CB по оси y.
• Тогда A = (a, 0), B = (0, b), C = (0, 0). Прямой угол в C выполняется автоматически.

2. Условия задачи дают отношение сторон через угол B.

• Вектор BA = A − B = (a, 0) − (0, b) = (a, −b).
• Вектор BC = C − B = (0, 0) − (0, b) = (0, −b).
• Косинус угла B: cos∠B = (BA · BC) / (|BA||BC|) = (b^2) / (√(a^2 + b^2) · b) = b / √(a^2 + b^2).
• По условию ∠B = 60°, значит cos∠B = 1/2. Следовательно b / √(a^2 + b^2) = 1/2 ⇒ a^2 = 3b^2.
• Таким образом отношение сторон: a = √3 · b.

3. Выберем простой масштаб (для ясности возьмём b = 1).

• Тогда B = (0, 1), A = (√3, 0), C = (0, 0).
• Длину гипотенузы AB можно проверить: AB = √((√3)^2 + 1^2) = √(3 + 1) = 2.

4. Найдём серединный перпендикуляр кHypotenuse AB и точку пересечения с AC.

• Средняя точка M гипотенузы AB: M = ((√3)/2, 1/2).
• Уклон AB: m_AB = (1 − 0) / (0 − √3) = −1/√3.
• Следовательно, уклон серединного перпендикуляра к AB: m_perp = √3.
• Уравнение перпендикуляра через M: y − 1/2 = √3 (x − √3/2).
• AC лежит на оси x, т.е. y = 0. Подставим: −1/2 = √3 (x_D − √3/2) ⇒ x_D = √3/2 − 1/(2√3) = √3/3.
• Значит D = (√3/3, 0), лежит на AC между C(0,0) и A(√3,0).

5. Найдём AD и DC и их отношение.

• AD = расстояние по оси x между A и D: AD = √3 − √3/3 = 2√3/3.
• DC = расстояние по оси x между D и C: DC = √3/3.
• Отношение AD:DC = (2√3/3) : (√3/3) = 2 : 1.

Ответ: AD:DC = 2:1.