В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 60°. Найдите отношение AD: DC, где D точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом АС.

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C угол B = 60°. D — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе AB с катетом AC. Найти отношение AD:DC. Пошаговое решение 1) Установим удобную систему координат. - Пусть C = (0, 0). Пусть AC лежит по оси x, CB по оси y. - Тогда A = (a, 0), B = (0, b), C = (0, 0). Прямой угол в C выполняется автоматически. 2) Условия задачи дают отношение сторон через угол B. - Вектор BA = A − B = (a, 0) − (0, b) = (a, −b). - Вектор BC = C − B = (0, 0) − (0, b) = (0, −b). - Косинус угла B: cos∠B = (BA · BC) / (|BA||BC|) = (b^2) / (√(a^2 + b^2) · b) = b / √(a^2 + b^2). - По условию ∠B = 60°, значит cos∠B = 1/2. Следовательно b / √(a^2 + b^2) = 1/2 ⇒ a^2 = 3b^2. - Таким образом отношение сторон: a = √3 · b. 3) Выберем простой масштаб (для ясности возьмём b = 1). - Тогда B = (0, 1), A = (√3, 0), C = (0, 0). - Длину гипотенузы AB можно проверить: AB = √((√3)^2 + 1^2) = √(3 + 1) = 2. 4) Найдём серединный перпендикуляр кHypotenuse AB и точку пересечения с AC. - Средняя точка M гипотенузы AB: M = ((√3)/2, 1/2). - Уклон AB: m_AB = (1 − 0) / (0 − √3) = −1/√3. - Следовательно, уклон серединного перпендикуляра к AB: m_perp = √3. - Уравнение перпендикуляра через M: y − 1/2 = √3 (x − √3/2). - AC лежит на оси x, т.е. y = 0. Подставим: −1/2 = √3 (x_D − √3/2) ⇒ x_D = √3/2 − 1/(2√3) = √3/3. - Значит D = (√3/3, 0), лежит на AC между C(0,0) и A(√3,0). 5) Найдём AD и DC и их отношение. - AD = расстояние по оси x между A и D: AD = √3 − √3/3 = 2√3/3. - DC = расстояние по оси x между D и C: DC = √3/3. - Отношение AD:DC = (2√3/3) : (√3/3) = 2 : 1. Ответ: AD:DC = 2:1.