Одна из граней прямоугольного параллелепипеда - квадрат. Диагональ параллелепипеда равна корень из восьми и образует с плоскостью этой грани угол 45 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: Пусть параллелепипед имеет стороны a, a, c, где основание — квадрат со сторонами a, и высота — c. 1) Длина пространственной диагонали: d^2 = a^2 + a^2 + c^2 = 2a^2 + c^2. Из условия d = sqrt(8) имеем 2a^2 + c^2 = 8. (1) 2) Угол между диагональю и плоскостью основания (плоскостью квадрата): Угол между линией и плоскостью удовлетворяет sin θ = (перпендикулярная компонента к плоскости) / длина линии = c / d. Для θ = 45° имеем sin 45° = 1/√2, значит c/d = 1/√2 → c = d/√2. Так как d = sqrt(8), получаем c = sqrt(8)/√2 = sqrt(4) = 2. (2) 3) Подстановка в (1): 2a^2 + c^2 = 8 → 2a^2 + 4 = 8 → 2a^2 = 4 → a^2 = 2 → a = √2. 4) Объем: V = площадь основания × высота = a^2 × c = (2) × 2 = 4. Ответ: объем параллелепипеда равен 4 (единиц³).