Изобразите на клетчатой бумаге четырёхугольник, не являющийся параллелограмом, у которого две стороны равны, а одна из диагоналей делит другую пополам.

Вот явное построение на клетчатой бумаге (с координатами узлов на сетке). Мы получаем четырехугольник, не являющийся параллелограммом, у которого две стороны равны, и одна из диагоналей делит другую пополам.

Задаём координаты вершин:

• A = (0, 0)
• B = (2, 0)
• D = (0, 2)

Эти три точки дают равные соседние стороны AB и AD (оба длины 2).

Теперь найдём точку C, чтобы соблюсти условие BC = CD. На плоскости множество точек, равных расстоянию до B и D, лежат на перпендикулярной биссектрисе от BD. Для данных B(2,0) и D(0,2) эта биссектриса лежит на линии y = x. Возьмём простую точку C на этой линии, отличную от A, например C = (1, 1).

Итак, вершины квадрилегра– в порядке AB–BC–CD–DA:

• A = (0, 0)
• B = (2, 0)
• C = (1, 1)
• D = (0, 2)

Построение:

• Соединяем AB, BC, CD, DA.
• Отмечаем диагонали AC и BD.

Проверки корректности:

• Не параллелограмм: AB вектор (2,0); CD вектор D−C = (−1, 1) — не параллельны. BC вектор C−B = (−1, 1); AD вектор A−D = (0, −2) — не параллельны. Значит, фигура не является параллелограммом.
• Две стороны равны: AB = AD = 2. (BC = CD = √2, но это не нарушает условие.)
• Одна диагональ делит другую пополам: диагональ BD имеет середину M = ((2+0)/2, (0+2)/2) = (1, 1). Точка M лежит на диагонали AC (A → C идёт по прямой y = x), значит AC делит BD пополам. Таким образом, одна диагональ бисектирует другую.

Где рисунок на клетчатой бумаге:

• Отметьте точки A(0,0), B(2,0), C(1,1), D(0,2) на сетке.
• Соедините AB, BC, CD, DA — получится искомый четырехугольник.
• Диагонали: AC соединяет (0,0) с (1,1); BD соединяет (2,0) с (0,2); их пересечение — точка (1,1), которая является серединой BD, т.е. AC бисектирует BD.

Дополнительные варианты (для разнообразия, на той же идее):

• Можно взять A = (0,0), B = (3,0), D = (0,3) и выбрать C на линии y = x, например C = (1.5, 1.5). Тогда все те же свойства сохраняются (при рисовании на плоскости можно использовать точки с целыми координатами, например масштабировать все на 2: A(0,0), B(4,0), D(0,4), C(2,2)).
• Общий принцип: выбрать A как общую вершину двух равных соседних сторон AB и AD, выбрать B и D на осях так, чтобы AB = AD, затем выбрать C на перпендикулярной биссектрисе BD (то есть на линии, где BC = CD). Тогда AC будет бисектировать BD.

Если хотите, могу привести ещё пару альтернативных примеров с разными размерами на той же идее или дать алгоритм для произвольного масштаба.