Геометрия, 8 класс
Реши задачу
12)
Точка E – середина стороны CD параллелограмма ABCD. Известно, что угол DAE равен углу CBD. Найдите отношение AE : BD.
Задача: в параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Угол DAE равен углу CBD. Найдите отношение AE : BD.
1) Ввод координат для упрощения.
- Пусть A = (0, 0), D = (1, 0). Тогда AD направлена вдоль оси x.
- Обозначим B = (p, q) (q ≠ 0, чтобы параллелограмм был ненулевым).
- Тогда C = B + D = (p + 1, q).
- Так как E — середина CD, то E = (C + D)/2 = ((p + 1) + 1)/2, q/2 = (p/2 + 1, q/2).
2) Направляющие векторы углов.
- Угол DAE — угол между векторами AD и AE.
AD = (1, 0), AE = E − A = (p/2 + 1, q/2).
Косинус угла: cos(DAE) = (1,0) · (p/2 + 1, q/2) / (|AD| |AE|) = (1 + p/2) / sqrt((1 + p/2)^2 + (q/2)^2).
- Угол CBD — угол между BC и BD.
BC ∥ AD, но удобнее взять CB = C − B = (1, 0) и BD = D − B = (1 − p, −q).
Косинус угла: cos(CBD) = (1,0) · (1 − p, −q) / (|CB| |BD|) = (1 − p) / sqrt((1 − p)^2 + q^2).
3) Уравнение угла.
Так как DAE равно CBD, их косинусы равны:
(1 + p/2) / sqrt((1 + p/2)^2 + (q/2)^2) = (1 − p) / sqrt((1 − p)^2 + q^2).
Упростим. Возьмем квадрат обеих сторон:
(1 + p/2)^2 / ((1 + p/2)^2 + (q/2)^2) = (1 − p)^2 / ((1 − p)^2 + q^2).
Пусть A = (1 + p/2)^2, B = (1 − p)^2, C = (q/2)^2, D = q^2. Тогда
A/(A + C) = B/(B + D) ⇒ A(B + D) = B(A + C) ⇒ AD = BC.
Подставим A, B, C, D:
(1 + p/2)^2 · q^2 = (1 − p)^2 · (q^2/4).
Если q ≠ 0, делим на q^2:
(1 + p/2)^2 = (1 − p)^2 / 4.
Из этого получаем
1 + p/2 = ±(1 − p)/2.
Решение допустимо только для знака плюс: 1 + p/2 = (1 − p)/2.
Отсюда 2 + p = 1 − p ⇒ 2p = −1 ⇒ p = −1/2.
Таким образом, p = −1/2, а q произвольный ненулевой.
4) Находим AE и BD и их отношение.
- E = (p/2 + 1, q/2) = (−1/4 + 1, q/2) = (3/4, q/2).
- AE^2 = (3/4)^2 + (q/2)^2 = 9/16 + q^2/4.
- BD^2 = (1 − p)^2 + q^2 = (1 − (−1/2))^2 + q^2 = (3/2)^2 + q^2 = 9/4 + q^2.
Заметим, что BD^2 = 4 · AE^2:
4 · AE^2 = 4 · (9/16 + q^2/4) = 9/4 + q^2 = BD^2.
Следовательно BD = 2 · AE, то есть AE : BD = 1 : 2.
Ответ: AE : BD = 1 : 2.
