Задача: в треугольнике ABC через стороны AB и BC провести прямую MK, параллельную AC, так, чтобы AM = BK. Найдём положение точки M на AB и точки K на BC.
Обозначения:
- Пусть AB = c, BC = a, AC = b.
- Пусть AM = BK = x (нужно найти x).
Шаг 1. Применим параллельность MK к AC и найдём равенство подобий
Так как MK ∥ AC, треугольники MBK и ABC подобны:
- ∠MBK = ∠ABC (MB лежит на AB, BK на BC);
- ∠MKB = ∠ACB (KM ∥ AC, KB ∥ CB).
Соответствие вершин: M ↔ A, B ↔ B, K ↔ C. Поэтому пропорции выполняются:
MB/BA = BK/BC.
Шаг 2. Подставим показатели
MB = AB − AM = c − x, BA = AB = c, BK = x, BC = a.
Тогда (c − x)/c = x/a.
Шаг 3. Решим на x
a(c − x) = c x
ac − ax = cx
ac = x(a + c)
x = ac/(a + c).
Итак, AM = BK = ac/(a + c).
Дополнительные выводы (необязательно, но полезно):
- MB = AB − AM = c − ac/(a + c) = c^2/(a + c).
- Относительное соотношение AM:MB = (ac/(a + c)) : (c^2/(a + c)) = a : c, то есть AM:MB = BC:BA.
- Можно найти MK:MK/AC = MB/BA = (c^2/(a + c))/c = c/(a + c), следовательно MK = AC · c/(a + c) = b · AB/(AB + BC).
Ответ: Прямая MK параллельна AC и AM = BK выполняется, если AM = BK = (AB · BC) / (AB + BC).
