Геометрия, 8 класс 14) Параллельно стороне AC треугольника ABC проведите прямую, которая пересекает его стороны AB и BC в точках M и K, так, что AM = BK.

Задача: в треугольнике ABC через стороны AB и BC провести прямую MK, параллельную AC, так, чтобы AM = BK. Найдём положение точки M на AB и точки K на BC.

Обозначения:

• Пусть AB = c, BC = a, AC = b.
• Пусть AM = BK = x (нужно найти x).

Шаг 1. Применим параллельность MK к AC и найдём равенство подобий Так как MK ∥ AC, треугольники MBK и ABC подобны:

• ∠MBK = ∠ABC (MB лежит на AB, BK на BC);
• ∠MKB = ∠ACB (KM ∥ AC, KB ∥ CB).

Соответствие вершин: M ↔ A, B ↔ B, K ↔ C. Поэтому пропорции выполняются: MB/BA = BK/BC.

Шаг 2. Подставим показатели MB = AB − AM = c − x, BA = AB = c, BK = x, BC = a. Тогда (c − x)/c = x/a.

Шаг 3. Решим на x a(c − x) = c x ac − ax = cx ac = x(a + c) x = ac/(a + c).

Итак, AM = BK = ac/(a + c).

Дополнительные выводы (необязательно, но полезно):

• MB = AB − AM = c − ac/(a + c) = c^2/(a + c).
• Относительное соотношение AM:MB = (ac/(a + c)) : (c^2/(a + c)) = a : c, то есть AM:MB = BC:BA.
• Можно найти MK:MK/AC = MB/BA = (c^2/(a + c))/c = c/(a + c), следовательно MK = AC · c/(a + c) = b · AB/(AB + BC).

Ответ: Прямая MK параллельна AC и AM = BK выполняется, если AM = BK = (AB · BC) / (AB + BC).