раскрыть модули |×|+|1-×|

Задача: раскрыть модули |x| + |1 - x|.

Пошагово разберём по промежуткам, где меняются знаки выражений под модулями. Ключевые точки: x = 0 и x = 1.

1. Промежутки:

• x < 0
• 0 ≤ x ≤ 1
• x > 1

2. Вычисления в каждом промежутке

• Для x < 0: |x| = -x, 1 - x > 0 ⇒ |1 - x| = 1 - x Итого: |x| + |1 - x| = (-x) + (1 - x) = 1 - 2x

• Для 0 ≤ x ≤ 1: |x| = x, 1 - x ≥ 0 ⇒ |1 - x| = 1 - x Итого: |x| + |1 - x| = x + (1 - x) = 1

• Для x > 1: |x| = x, 1 - x < 0 ⇒ |1 - x| = x - 1 Итого: |x| + |1 - x| = x + (x - 1) = 2x - 1

3. Итоговое выражение (пошагово)

• x < 0: 1 - 2x
• 0 ≤ x ≤ 1: 1
• x > 1: 2x - 1

Проверка на стыках: при x = 0 и x = 1 значения совпадают (все равно 1), значит функция непрерывна.

Дополнительная интуиция (оптимизация):

• По неравенству треугольника |x| + |1 - x| ≥ |x + (1 - x)| = 1.
• Равенство достигается, когда x и 1 - x имеют одинаковый знак, то есть для 0 ≤ x ≤ 1.
• Значение минимальное: 1, достигается на любом x из отрезка [0, 1].
• За пределами [0, 1] выражение растёт линейно: слева 1 - 2x (при x < 0) и справа 2x - 1 (при x > 1).

Итого: раскрытие модулей даёт piecewise-объединение 1 - 2x (x < 0), 1 (0 ≤ x ≤ 1), 2x - 1 (x > 1) с минимумом 1 на отрезке [0, 1].