Раскрыть модули |×|+|1-×|

Задача: раскрыть модули |x| + |1 - x|. Пошагово разберём по промежуткам, где меняются знаки выражений под модулями. Ключевые точки: x = 0 и x = 1. 1) Промежутки: - x < 0 - 0 ≤ x ≤ 1 - x > 1 2) Вычисления в каждом промежутке - Для x < 0: |x| = -x, 1 - x > 0 ⇒ |1 - x| = 1 - x Итого: |x| + |1 - x| = (-x) + (1 - x) = 1 - 2x - Для 0 ≤ x ≤ 1: |x| = x, 1 - x ≥ 0 ⇒ |1 - x| = 1 - x Итого: |x| + |1 - x| = x + (1 - x) = 1 - Для x > 1: |x| = x, 1 - x < 0 ⇒ |1 - x| = x - 1 Итого: |x| + |1 - x| = x + (x - 1) = 2x - 1 3) Итоговое выражение (пошагово) - x < 0: 1 - 2x - 0 ≤ x ≤ 1: 1 - x > 1: 2x - 1 Проверка на стыках: при x = 0 и x = 1 значения совпадают (все равно 1), значит функция непрерывна. Дополнительная интуиция (оптимизация): - По неравенству треугольника |x| + |1 - x| ≥ |x + (1 - x)| = 1. - Равенство достигается, когда x и 1 - x имеют одинаковый знак, то есть для 0 ≤ x ≤ 1. - Значение минимальное: 1, достигается на любом x из отрезка [0, 1]. - За пределами [0, 1] выражение растёт линейно: слева 1 - 2x (при x < 0) и справа 2x - 1 (при x > 1). Итого: раскрытие модулей даёт piecewise-объединение 1 - 2x (x < 0), 1 (0 ≤ x ≤ 1), 2x - 1 (x > 1) с минимумом 1 на отрезке [0, 1].