2y-8/y-5+10/y²-25/-y-4/y+5=0

Предположим, задача записана так: (2y - 8)/(y - 5) + 10/(y^2 - 25) + (-y - 4)/(y + 5) = 0, то есть три дроби с общим знаменателем y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5). Значит y не может быть ±5.

1. Приведём все дроби к общему знаменателю D = (y - 5)(y + 5) = y^2 - 25:

• (2y - 8)/(y - 5) = 2(y - 4)/(y - 5) = 2(y - 4)(y + 5)/D
• 10/(y^2 - 25) = 10/D
• (-y - 4)/(y + 5) = -(y + 4)/(y + 5) = -(y + 4)(y - 5)/D

2. Сложим числители:

N = 2(y - 4)(y + 5) + 10 - (y + 4)(y - 5)

Раскроем скобки:

• (y - 4)(y + 5) = y^2 + y - 20 → 2(y^2 + y - 20) = 2y^2 + 2y - 40
• (y + 4)(y - 5) = y^2 - y - 20 → -(y^2 - y - 20) = -y^2 + y + 20

Итого: N = (2y^2 + 2y - 40) + 10 + (-y^2 + y + 20) = (2y^2 - y^2) + (2y + y) + (-40 + 10 + 20) = y^2 + 3y - 10

Значит уравнение принимает вид: (y^2 + 3y - 10) / (y^2 - 25) = 0, при y ≠ ±5.

3. Решим квадратное уравнение в числителе: y^2 + 3y - 10 = 0 → (y + 5)(y - 2) = 0 отсюда y = -5 или y = 2.

Но y = -5 недопустимо (домен исключает y = ±5). Следовательно, единственное решение: y = 2.

4. Проверка (быстрая подстановка, чтобы убедиться):

• (2y - 8)/(y - 5) при y = 2: (4 - 8)/(-3) = 4/3
• 10/(y^2 - 25) при y = 2: 10/(4 - 25) = -10/21
• (-y - 4)/(y + 5) при y = 2: (-2 - 4)/7 = -6/7

Сумма: 4/3 - 10/21 - 6/7 = 28/21 - 10/21 - 18/21 = 0. Проверка прошла.

Ответ: y = 2.