sin2x+4cos ²x=1

Задача: sin 2x + 4 cos^2 x = 1

Решение по шагам (пошагово для понимания)

1. Приведем выражение к удобной форме

• Используем тождество cos^2 x = (1 + cos 2x)/2.
• Тогда 4 cos^2 x = 4 * (1 + cos 2x)/2 = 2(1 + cos 2x) = 2 + 2 cos 2x.

equation становится: sin 2x + (2 + 2 cos 2x) = 1 sin 2x + 2 cos 2x = -1.

2. Введем замену t = tan x и выразим sin 2x и cos 2x через t

• sin 2x = 2t / (1 + t^2)
• cos 2x = (1 − t^2) / (1 + t^2)

Подставим в уравнение: [2t + 2(1 − t^2)] / (1 + t^2) = −1

Умножим на (1 + t^2): 2t + 2 − 2t^2 = −1 − t^2

Приведём подобные: −t^2 + 2t + 3 = 0 t^2 − 2t − 3 = 0

3. Решим квадратное уравнение t^2 − 2t − 3 = 0 → (t − 3)(t + 1) = 0

Значения t:

• t = 3
• t = −1

4. Найдем x по каждой ветви

• Если tan x = 3, то x = arctan(3) + kπ, где k ∈ ℤ.
• Если tan x = −1, то x = arctan(−1) + kπ = −π/4 + kπ, где k ∈ ℤ.

5. Примеры в пределах [0, 2π) (опционально)

• arctan(3) ≈ 1.249 rad ≈ 71.565°
• −π/4 + π = 3π/4 ≈ 2.356 rad ≈ 135° Итак, в [0, 2π): x ≈ 1.249 rad (или 71.565°) и x ≈ 2.356 rad (или 135°), и далее по периодам.

Итого общий ответ:

• x = arctan(3) + kπ, k ∈ ℤ
• или x = −π/4 + kπ, k ∈ ℤ

Если нужно, могу привести решение в градусах или ограничить промежуток [0, 2π).