X^2 + px + q = 0

Вот подробное решение задачи x^2 + p x + q = 0 (поскольку параметры p и q не заданы конкретно, будем говорить в общем виде). Цель: понять, как найти корни и какие случаи возможны в зависимости от дискриминанта. 1) Коэффициенты и дискриминант - Коэффициенты: a = 1, b = p, c = q. - Дискриминант D = b^2 - 4ac = p^2 - 4q. 2) Разбор по значению дискриминанта - Если D > 0: два различных вещественных корня x1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-p - sqrt(p^2 - 4q)) / 2 x2 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-p + sqrt(p^2 - 4q)) / 2 - Если D = 0: один корень (повторяющийся) x = -b / (2a) = -p / 2 - Если D < 0: два комплексных корня x1 = (-p - i sqrt(-D)) / 2 x2 = (-p + i sqrt(-D)) / 2 (графически такие корни возникают, когда график параболы не пересекает ось x на вещественных числах) 3) Альтернативная запись через квадратное дополнение - x^2 + p x + q = 0 можно привести к (x + p/2)^2 = p^2/4 - q - Тогда корни: x = -p/2 ± sqrt(p^2/4 - q) - Это эквивалентно дискриминантному выражению: sqrt(p^2/4 - q) = sqrt(D)/2, следовательно вышеформула совпадает с копией через D. 4) Связь корней с коэффициентами - Сумма корней: x1 + x2 = -p - Произведение корней: x1 x2 = q 5) Примеры (для иллюстрации) - Пример 1: p = 3, q = 2 D = 9 - 8 = 1 > 0 x1 = (-3 - 1)/2 = -2 x2 = (-3 + 1)/2 = -1 Решение: x = -2 и x = -1 - Пример 2: p = 4, q = 5 D = 16 - 20 = -4 < 0 x1 = (-4 - i*2)/2 = -2 - i x2 = (-4 + i*2)/2 = -2 + i Решение: комплексные корни: -2 ± i - Пример 3: p = 2, q = 1 D = 4 - 4 = 0 x = -2/2 = -1 Решение: единственный корень x = -1 6) Как понять и выбрать метод - Если нужно четко увидеть корни в явном виде, используйте формулу дискриминанта: x = (-p ± sqrt(p^2 - 4q)) / 2 - Если нужно проверить возможность рациональных корней, смотрите на D: - D ≥ 0 и sqrt(D) целое — корни будут рациональными. - D < 0 — ресурсы переходят в комплексные числа. - При желании можно completing the square: проверить, что (x + p/2)^2 = p^2/4 - q. Если хочешь, могу подставить конкретные значения p и q и показать по шагам решение для них.