x^2 + px + q = 0
Вот подробное решение задачи x^2 + p x + q = 0 (поскольку параметры p и q не заданы конкретно, будем говорить в общем виде).
Цель: понять, как найти корни и какие случаи возможны в зависимости от дискриминанта.
- Коэффициенты и дискриминант
- Коэффициенты: a = 1, b = p, c = q.
- Дискриминант D = b^2 - 4ac = p^2 - 4q.
- Разбор по значению дискриминанта
Если D > 0: два различных вещественных корня x1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-p - sqrt(p^2 - 4q)) / 2 x2 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-p + sqrt(p^2 - 4q)) / 2
Если D = 0: один корень (повторяющийся) x = -b / (2a) = -p / 2
Если D < 0: два комплексных корня x1 = (-p - i sqrt(-D)) / 2 x2 = (-p + i sqrt(-D)) / 2 (графически такие корни возникают, когда график параболы не пересекает ось x на вещественных числах)
- Альтернативная запись через квадратное дополнение
- x^2 + p x + q = 0 можно привести к (x + p/2)^2 = p^2/4 - q
- Тогда корни: x = -p/2 ± sqrt(p^2/4 - q)
- Это эквивалентно дискриминантному выражению: sqrt(p^2/4 - q) = sqrt(D)/2, следовательно вышеформула совпадает с копией через D.
- Связь корней с коэффициентами
- Сумма корней: x1 + x2 = -p
- Произведение корней: x1 x2 = q
- Примеры (для иллюстрации)
Пример 1: p = 3, q = 2 D = 9 - 8 = 1 > 0 x1 = (-3 - 1)/2 = -2 x2 = (-3 + 1)/2 = -1 Решение: x = -2 и x = -1
Пример 2: p = 4, q = 5 D = 16 - 20 = -4 < 0 x1 = (-4 - i2)/2 = -2 - i x2 = (-4 + i2)/2 = -2 + i Решение: комплексные корни: -2 ± i
Пример 3: p = 2, q = 1 D = 4 - 4 = 0 x = -2/2 = -1 Решение: единственный корень x = -1
- Как понять и выбрать метод
- Если нужно четко увидеть корни в явном виде, используйте формулу дискриминанта: x = (-p ± sqrt(p^2 - 4q)) / 2
- Если нужно проверить возможность рациональных корней, смотрите на D:
- D ≥ 0 и sqrt(D) целое — корни будут рациональными.
- D < 0 — ресурсы переходят в комплексные числа.
- При желании можно completing the square: проверить, что (x + p/2)^2 = p^2/4 - q.
Если хочешь, могу подставить конкретные значения p и q и показать по шагам решение для них.
Обсуждение
2 сообщенияимеет корни 5;9 найдите q
Если квадратное уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(5\) и \(9\), мы можем использовать следующие свойства корней:
- Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -p\)
- Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = q\)
Подставим известные корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 9\):
Сумма корней: \[ 5 + 9 = -p \Rightarrow 14 = -p \Rightarrow p = -14 \]
Произведение корней: \[ 5 \cdot 9 = q \Rightarrow 45 = q \]
Таким образом, значение \(q\) равно \(45\).
Таким образом, уравнение будет выглядеть как: \[ x^2 - 14x + 45 = 0 \]
