Треугольник можно разделить на четыре равных треугольника. Как? Если от треугольной пирамиды отрезать четыре уголка, проведя разрезы через середины ребер, то будет ли оставшаяся…

Кратко сначала по двум частям.

1. Как треугольник можно разделить на четыре равных треугольника?

• Найдите середины сторон: пусть на сторонах BC, CA, AB лежат точки D, E, F соответственно.
• Соедините середины: образуется центральная трапеция? Нет: соедините точки D, E, F треугольником DEF.
• Тогда треугольники AEF, BFD, CDE и центральный DEF делят исходный треугольник на 4 треугольника одинаковой площади. Каждый из них подобен исходному треугольнику и имеет сторону половины исходной, поэтому площадь каждого равна 1/4 площади исходного треугольника.

2. Если от треугольной пирамиды отрезать четыре уголка так, чтобы разрез проходил через середины ребер, получится ли снова треугольная пирамида?

• Нет. Это не останется треугольной пирамидой.
• Для тетраэдра (трёхмерной треугольной пирамиды) каждую вершину можно обрезать плоскостью, проходящей через середины трёх ребер, выходящих из этой вершины. Это стандартная усечённость вершины.
• Если обрезать все четыре вершины тетраэдра, получится усечённый тетраэдр: у него восемь граней — четыре треугольные грани, образованные усечениями вершин, и четыре шестиугольные грани, получившиеся из исходных четырех граней тетраэдра.
• Если исходный тетраэдр был правильным (регулярным), то центры усечённых граней образуют четырехугольные? Нет, сам план усечения даёт четыре равные треугольные лица и четыре равные шестиугольные лица. В сумме это Archimedean-фикус: усечённый тетраэдр.
• Поэтому оставшаяся фигура не будет треугольной пирамидой; это усечённый тетраэдр (для регулярного тетраэдра – симметричная форма с четырьмя tri- и четырьмя hexagonal-подобными гранями).