Непрерывно как пишется?

Коротко: пишется слитно — непрерывно.

Пошагово, чтобы понять почему:

• Это наречие, образованное от прилагательного непрерывный (значение: беспрерывный, без перерыва).
• Наречия чаще образуются от прилагательных с суффиксом -о/-е; здесь образовано от основы прилагательного и пишется как одно слово: непрерывно.
• Приставка НЕ здесь не раздельная часть слова: это не какой-то отдельный оборот «не прерывно», а одно целое слово непрерывно.

Значение и употребление:

• Пример: Дождь шёл непрерывно все три часа.
• Пример: Он говорил непрерывно почти без остановки.

Справка по близким словам:

• Прилагательное: непрерывный — обозначает характеристику предмета: беспрерывный, без перерыва.
• Существительное близкое по значению: перерыв — пауза; противопоставление с не- образует другое слово, но в данном случае речь идёт именно о непрерывности без пауз.

Если хочешь, могу привести ещё примеры предложений или разобрать похожие слова с приставкой не- (например, незначительный, неугомонный и т. п.).