Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1) f(x) = 2x - 3 2) g(x) = - 3x + 2 3) f(x) = |x| 4) u(x) = |x - 2| 5) h(x) = (x ^ 2)/2 6) r(x) = - 1/2 * x ^ 2 + 2
Ниже приведены промежутки возрастания и убывания для каждой функции. Везде используется принцип: функция возрастает там, где производная положительна, убывает там, где производная отрицательна. Для функций с модулями разбираем по кускам.
- f(x) = 2x - 3
- Производная: f'(x) = 2 > 0 для любого x.
- Возрастание: (-∞, ∞)
- Убывание: нет промежутков
- Примечание: линейная функция с положительным наклоном, растет на всей оси.
- g(x) = -3x + 2
- Производная: g'(x) = -3 < 0 для любого x.
- Возрастание: нет
- Убывание: (-∞, ∞)
- Примечание: линейная функция с отрицательным наклоном, убывает на всей оси.
- f(x) = |x|
- Разбираем по кускам: |x| = -x при x < 0; |x| = x при x ≥ 0.
- На (-∞, 0) производная равна -1 (убывает); на (0, ∞) производная равна +1 (возрастает).
- Возрастание: (0, ∞)
- Убывание: (-∞, 0)
- Примечание: в точке x = 0 есть острый угол (красная точка минимума f(0) = 0).
- u(x) = |x - 2|
- Разбираем по кускам: |x-2| = -(x-2) = -x + 2 при x < 2; |x-2| = x - 2 при x ≥ 2.
- На (-∞, 2) убывает; на (2, ∞) возрастает.
- Возрастание: (2, ∞)
- Убывание: (-∞, 2)
- Примечание: минимум в точке x = 2, u(2) = 0.
- h(x) = x^2 / 2
- Производная: h'(x) = x.
- На (-∞, 0) убывает; на (0, ∞) возрастает.
- Возрастание: (0, ∞)
- Убывание: (-∞, 0)
- Примечание: минимум в x = 0, h(0) = 0.
- r(x) = - (1/2) x^2 + 2
- Производная: r'(x) = -x.
- На (-∞, 0) возрастает; на (0, ∞) убывает.
- Возрастание: (-∞, 0)
- Убывание: (0, ∞)
- Примечание: максимум в x = 0, r(0) = 2.
Обсуждение
2 сообщенияобъясните подробнее
Давайте подробнее разберем каждую функцию и все шаги, которые мы использовали для нахождения промежутков возрастания и убывания.
1) \( f(x) = 2x - 3 \)
1. Найдем производную: \[ f'(x) = 2 \]
2. Анализ производной: Поскольку производная равна 2 (положительное число), это означает, что функция возрастает на всех промежутках.
3. Результат:
- Возрастание: \( (-\infty, \infty) \)
- Убывание: нет
2) \( g(x) = -3x + 2 \)
1. Найдем производную: \[ g'(x) = -3 \]
2. Анализ производной: Производная равна -3 (отрицательное число), что говорит о том, что функция убывает на всех промежутках.
3. Результат:
- Возрастание: нет
- Убывание: \( (-\infty, \infty) \)
3) \( f(x) = |x| \)
1. Разделим функцию на куски: \[ f(x) = \begin{cases} -x & \text{если } x < 0 \\ x & \text{если } x \geq 0 \end{cases} \]
2. Найдем производную для каждого куска:
- Для \( x < 0 \): \( f'(x) = -1 \) (убывает)
- Для \( x \geq 0 \): \( f'(x) = 1 \) (возрастает)
3. Оценка поведения функции:
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \)
- Функция возрастает на интервале \( (0, \infty) \)
4. Результат:
- Возрастание: \( (0, \infty) \)
- Убывание: \( (-\infty, 0) \)
4) \( u(x) = |x - 2| \)
1. Разделим функцию на куски: \[ u(x) = \begin{cases} -(x-2) \text{ или } -x + 2 & \text{если } x < 2 \\ x - 2 & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \]
2. Найдем производную для каждого куска:
- Для \( x < 2 \): \( u'(x) = -1 \) (убывает)
- Для \( x \geq 2 \): \( u'(x) = 1 \) (возрастает)
3. Оценка поведения функции:
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 2) \)
- Функция возрастает на интервале \( (2, \infty) \)
4. Результат:
- Возрастание: \( (2, \infty) \)
- Убывание: \( (-\infty, 2) \)
5) \( h(x) = \frac{x^2}{2} \)
1. Найдем производную: \[ h'(x) = x \]
2. Анализ производной:
- Производная равна 0 в точке \( x = 0 \).
- Для \( x < 0 \) производная отрицательна (убывает).
- Для \( x > 0 \) производная положительна (возрастает).
3. Результат:
- Возрастание: \( (0, \infty) \)
- Убывание: \( (-\infty, 0) \)
6) \( r(x) = -\frac{1}{2} x^2 + 2 \)
1. Найдем производную: \[ r'(x) = -x \]
2. Анализ производной:
- Производная равна 0 в точке \( x = 0 \).
- Для \( x < 0 \) производная положительна (функция возрастает).
- Для \( x > 0 \) производная отрицательна (функция убывает).
3. Результат:
- Возрастание: \( (-\infty, 0) \)
- Убывание: \( (0, \infty) \)
В случае всех функций, чтобы исключить возможные недопонимания, важно также учитывать точки, в которых могут происходить изменения в поведении функции (например, точки, где производная равна 0 или не существует). Эти точки также могут служить границей между интервалами возрастания и убывания.
