x(x-6) /x-3

Разберём выражение: x(x-6) / (x-3). Пусть это (x(x-6))/(x-3). Учтём также, что деление на ноль запрещено, поэтому x ≠ 3.

1. Приведём числитель к стандартному виду

• x(x-6) = x^2 - 6x.

2. Проверим, можно ли сократить общие множители с знаменателем

• Знаменатель: x - 3.
• числитель: x^2 - 6x = x(x - 6).
• Ни x, ни (x - 6) не содержат множитель (x - 3) как явную общую сумму/фактор. Поэтому простого сокращения на (x - 3) не происходит. Иными словами, дробь не сокращается на данном этапе.

3. Выполним деление многочлена на линейное выражение, чтобы выразить дробь через частное и остаток

• Делим (x^2 - 6x) на (x - 3).
• Частное: x. Умножаем: x*(x - 3) = x^2 - 3x. Вычитаем: (x^2 - 6x) - (x^2 - 3x) = -3x.
• Продолжаем деление: делим -3x на (x - 3) — это можно трактовать как частное -3 и остаток 9. Проверка: (-3)*(x - 3) = -3x + 9. Вычитая: (-3x) - (-3x + 9) = -9.
• Итого: (x^2 - 6x)/(x - 3) = (x - 3) + (-9)/(x - 3) = x - 3 - 9/(x - 3).

4. Запишем результат в двух формах и укажем домен

• Эквивалентные формы:
  • Исходная дробь: (x^2 - 6x)/(x - 3).
  • Приведённая к частному и остатку: x - 3 - 9/(x - 3).
• Доменная оговорка: x ≠ 3.

5. Пример проверки

• Возьмём, например, x = 0:
  • Исходное выражение: 0*(0-6)/(0-3) = 0/(-3) = 0.
  • В форме x - 3 - 9/(x - 3): 0 - 3 - 9/(0 - 3) = -3 - 9/(-3) = -3 + 3 = 0. Совпадает.

Ответ:

• Основная форма: (x^2 - 6x)/(x - 3).
• Альтернатива: x - 3 - 9/(x - 3).
• Домен: x ≠ 3.