Циклотрон- это установка, ускоряющая заряженные частицы при помощи электрического и постоянного магнитного поля. Протон внутри циклотрона с частотой генератора v = 13 МГц…

Задача на циклотрон: разберёмся пошагово и посчитаем время до выхода протона.

Данные

• Частота генератора f = 13 МГц = 13×10^6 Гц
• Напряжение ускорения U = 3 кВ
• Радиус максимальной орбиты R = 0.30 м
• Масса протона m = 1.673×10^-27 кг
• Заряд протона q = e = 1.602×10^-19 Кл

Ключевые соображения

• В циклотроне частота вращения протона связана с полем B так, что f_cyclotron = qB/(2πm). Частота радио-генератора равна этой частоте.
• Скорость протона связана с радиусом через v = ωR, где ω = 2πf. Следовательно, выходная скорость v_out = 2π f R.
• Энергия, получаемая за прохождение через щели ускорения: ΔK = qU.
• Начиная с нулевой кинетической энергии, за каждый проход через щель протон набирает энергию ΔK. Число таких проходов N нужно, чтобы достигнуть K_out = (1/2)m v_out^2. Затем время t = N/(2f) (период T = 1/f, ускорение происходит за половину периода).

Расчёты

1. Найдём B (для проверки и для уверенности в числах): B = 2π m f / q ≈ 2π · (1.673×10^-27 kg) · (13×10^6 s^-1) / (1.602×10^-19 C) ≈ 0.85 Тл.

2. Выходная скорость: v_out = ωR = (2πf)R = 2π · (13×10^6) · 0.30 ≈ 2.4504×10^7 м/с.

3. Выходная кинетическая энергия: K_out = (1/2) m v_out^2 ≈ 0.5 · (1.673×10^-27) · (2.4504×10^7)^2 ≈ 5.02×10^-13 Дж В МэВ: ≈ 3.14 МэВ.

4. Энергия за один проход: ΔK = qU = (1.602×10^-19 Кл)(3×10^3 В) = 4.806×10^-16 Дж В МэВ: ≈ 0.003 МэВ (то есть 3 кэВ).

5. Число необходимых прохождений: N ≈ K_out / ΔK ≈ (5.02×10^-13) / (4.806×10^-16) ≈ 1.046×10^3 Округляем до целого: N ≈ 1047 прохождений.

6. Время ускорения: Период цикла T = 1/f = 1/(13×10^6) ≈ 7.692×10^-8 с. Время на одно ускорение (за половину цикла) t_half = T/2 ≈ 3.846×10^-8 с. Итого время до выхода t = N · t_half ≈ 1047 · 3.846×10^-8 ≈ 4.03×10^-5 с.

Ответ

• Время ускорения до выхода из циклотрона ≈ 4.0×10^-5 секунды.
• Это примерно 40 микросекунд (40 μs). Якщо строго округлять до целых секунд, получится 0 секунд, но полезнее оставить значение как примерно 4.0×10^-5 с (≈ 40 μs).