Докажите теорему Фалеса: если на одной прямой отложены последовательно несколько равных отрезков и через их концы проведены несколько параллельных прямых, то они отсекают на другой прямой равные между собой отрезки. Пусть на прямой отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую в точках . Докажем, что отрезки равны (рис. 165 а). Рассмотрим сначала случай, когда прямые и параллельны (рис. 165 а). Тогда и т. д. — параллелограммы. А так как противоположные стороны параллелограмма равны, то через точку проведём прямую, параллельную прямой (рис. 165 б). Она пересечёт прямые и в некоторых точках и . Так как , то получаем . Аналогично можно доказать, что . Отсюда . Следовательно, все отрезки равны (что и требовалось).