Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, убывают функции y = 2, 5 - 4x

Задача: доказать, что функция y = 2,5 − 4x убывает (на русском: строго убывает) на всей множестве вещественных чисел, используя свойства верных числовых неравенств.

Пусть f(x) = 2,5 − 4x. Докажем, что для любых x1 < x2 выполняется f(x1) > f(x2).

Шаги доказательства:

• Выберем любые x1 и x2 такие, что x1 < x2.
• Посчитатим разницу значений функции: f(x1) − f(x2) = (2,5 − 4x1) − (2,5 − 4x2) = −4x1 + 4x2 = 4(x2 − x1).
• Так как x1 < x2, получаем x2 − x1 > 0, следовательно 4(x2 − x1) > 0.
• Значит f(x1) − f(x2) > 0, то есть f(x1) > f(x2).

Следовательно, при возрастании аргумента функция принимает строго меньшие значения: f(x1) > f(x2) для любого x1 < x2. Это и есть определение строгого убывания функции на всей числовой оси.

Дополнительное замечание:

• В линейной функции вида y = ax + b коэффициент при x равный a определяет монотонность: если a < 0, функция строго убывает; здесь a = −4 < 0, что согласуется с выводом выше.
• Пример для иллюстрации: x1 = 0 ⇒ f(0) = 2,5; x2 = 1 ⇒ f(1) = 2,5 − 4 = −1,5; получаем, что при возрастании x функция уменьшается.

Итог: функция y = 2,5 − 4x является строгой убывающей на всей области определения (R).