Как решить

Привет! Давай разберемся с этим неравенством шаг за шагом.

Нам нужно решить методом интервалов следующее неравенство:

\[ \frac{x(x - 4)}{(2x + 3)(7 - x)} \geq 0. \]

Первым делом находим нули числителя и знаменателя, так как они будут точками, в которых функция меняет знак. Итак,

1. Числитель равен нулю, когда \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
2. Знаменатель равен нулю, когда \( 2x + 3 = 0 \) или \( 7 - x = 0 \). Отсюда получаем \( x = -\frac{3}{2} \) и \( x = 7 \).

Теперь у нас есть четыре точки, которые разделяют числовую ось на интервалы. Это точки: \( -\frac{3}{2} \), \( 0 \), \( 4 \), и \( 7 \). Теперь будем проверять знаки наших выражений на каждом из интервалов, которые эти точки образуют.

Важно помнить, что точки, в которых обращается в нуль знаменатель, не включаются в область определения функции, а значит, и в интервалы решения (они будут исключены из ответа).

Заметим, что при \( x \) стремящемся к бесконечности, выражение положительно, так как старшие степени в числителе и знаменателе положительны, и числитель начинает "перевешивать".

Теперь проставляем знаки на наших интервалах:

• (