Задача №1 (10 баллов) Металлический шарик, нагретый до t_{1} = 80 deg * C опустили в калориметр с водой. При этом температура воды повысилась с 1 20°С до t_{0} = 44 deg * C…
Задача №1 (10 баллов) Металлический шарик, нагретый до t_{1} = 80 deg * C опустили в калориметр с водой. При этом температура воды повысилась с 1 20°С до t_{0} = 44 deg * C Выведите формулу для расчета установившейся температуры воды 7 в калориметре, если из нее при температуре 10 извлечь первый шарик и на его место положить 2 таких же шарика, нагретых до t_{2} = 60 deg * C Вычислите температуру Т. Тепловыми потерями пренебречь
Расшифруем задачу и получим цепочку условий.
Дано (из условия и принятых обозначений):
- Первый шарик: t1 = 80°C, он погружён в калориметр с водой, после чего температура воды стала t0 = 44°C. Пусть t_i — начальная температура воды до погружения первого шарика (из условия обычно это 20°C).
- После этого шарик извлекают, на его место кладут два шарика одинакового материала и того же размера, но нагретых до t2 = 60°C. Требуется найти установившуюся температуру воды T в таком сценарии.
- Тепловые потери пренебрежены.
Обозначения:
- Cw = M_w * cw — теплоёмкость воды в калориметре.
- Cb = m * cs — теплоёмкость одного металлического шарика (масса m, теплоёмкость cs).
Первая стадия (один шарик в воде) энергии обмена невыходящие на окружение: Cb * (t1 − t0) = Cw * (t0 − t_i) Отсюда: Cb = Cw * (t0 − t_i) / (t1 − t0)
Вторая стадия (два шарика по температуре t2 вставляются в воду с температурой t0) Установившаяся температура воды будет T. Энергия, отдаваемая двумя шариками при охлаждении с t2 до T, равна энергии, получаемой водой при нагревании с t0 до T: 2 * Cb * (t2 − T) = Cw * (T − t0)
Подставим выражение для Cb из п.1: 2 * [Cw * (t0 − t_i) / (t1 − t0)] * (t2 − T) = Cw * (T − t0)
Сократим Cw (оно не равно нулю): 2 * (t0 − t_i) / (t1 − t0) * (t2 − T) = T − t0
Пусть A = 2 * (t0 − t_i) / (t1 − t0). Тогда: A (t2 − T) = T − t0 A t2 − A T = T − t0 −(A + 1) T = −t0 − A t2 T = (t0 + A t2) / (A + 1)
Или эквивалентно, без вводимого A: T = [ t0*(t1 − t0) + 2 t2*(t0 − t_i) ] / [ (t1 − t0) + 2*(t0 − t_i) ]
- Численное вычисление (подстановка чисел) Исходя из условия: t1 = 80, t0 = 44, t_i = 20, t2 = 60.
- t1 − t0 = 80 − 44 = 36
- t0 − t_i = 44 − 20 = 24
Тогда: T = [ 4436 + 26024 ] / [ 36 + 224 ] = [ 1584 + 2880 ] / [ 36 + 48 ] = 4464 / 84 ≈ 53.14°C
Ответ: установившаяся температура воды после замены шара на два шара по температуре 60°C составляет примерно 53.14°C. Формула для любой набора данных (t1, t0, t_i, t2) дана выше: T = [ t0*(t1 − t0) + 2 t2*(t0 − t_i) ] / [ (t1 − t0) + 2*(t0 − t_i) ]
