f(х)=х³-10

Задача: f(x) = x^3 − 10. Цель: понять поведение функции.

Коротко о функции

• Это кубическая функция, полученная от базовой y = x^3 сдвигом вниз на 10 единиц.
• График имеет S-образную форму, но смещён вниз на 10.

Пошагово разбор

1. Область определения и диапазон

• Область определения: все действительные числа R.
• Диапазон: все действительные числа R (кубическая функция растёт без ограничений в обе стороны).

2. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y: при x = 0, f(0) = -10 → точка (0, −10).
• Пересечение с осью x: решаем уравнение x^3 − 10 = 0 → x = ∛10 ≈ 2.154. Это единственный действительный корень.

3. Монотонность

• Производная: f′(x) = 3x^2 ≥ 0 для всех x, и f′(x) > 0 для любых x ≠ 0.
• Следовательно, функция возрастает на всей области определения. (Немного нюанса: производная равна нулю только в точке x = 0, но функция всё равно строго возрастает на R.)

4. Вогнутость и точка перегиба

• Вторая производная: f″(x) = 6x.
• Поведение по concavity:
  • x < 0: вогнуто вниз (concave down).
  • x > 0: вогнуто вверх (concave up).
• Точка перегиба: x = 0. Координаты перегиба: (0, f(0)) = (0, −10).

5. Границы и направление графика

• При x → +∞: f(x) → +∞.
• При x → −∞: f(x) → −∞.
• График имеет один реальный корень и пересекает ось x в около 2.154.

6. Несколько контрольных значений

• f(−2) = (−2)^3 − 10 = −8 − 10 = −18
• f(−1) = −1 − 10 = −11
• f(0) = −10
• f(1) = 1 − 10 = −9
• f(2) = 8 − 10 = −2
• f(3) = 27 − 10 = 17

7. Визуальная характеристика графика

• График идёт снизу вверх, crosses x-axis примерно в x ≈ 2.154.
• Y-перехват −10.
• Точка перегиба в (0, −10).
• Глоток вверх после x > 0: график ускоренно возрастает.

Итог

• f(x) = x^3 − 10 — возрастающая функция со всех сторон, не ограничена по значениям.
• Прямой способ понять: это базовый куб сдвинутый вниз на 10; корень находится при x = ∛10, примерно 2.154.

Если нужно, могу привести график или помочь построить таблицу значений для построения графика своими руками.