Задача вinterpreta: ab и ba обозначают две цифры a и b как двухцифровые числа (ab = 10a + b, ba = 10b + a). Нужно such, чтобы sqrt(ab − ba) давало натуральное число.
1) Выразим разность:
ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b).
2) Требование: sqrt(ab − ba) должно быть натуральным числом.
Тогда sqrt(9(a − b)) = 3·sqrt(a − b) должно быть натуральным. Значит a − b > 0 и a − b должно быть идеальным квадратом.
3) Диапазон возможных значений a и b: a ∈ {1,...,9}, b ∈ {0,...,9}, поэтому a − b ∈ {−9,...,9}. Чтобы sqrt была определена как натуральное число, нужные значения a − b ∈ {1, 4, 9}.
4) Перечислим варианты по d = a − b:
- d = 1: a = b + 1. b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8} → 9 пар (a,b). Примеры ab: 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98.
- d = 4: a = b + 4. b ∈ {0,1,2,3,4,5} → 6 пар. Примеры ab: 40, 51, 62, 73, 84, 95.
- d = 9: a = b + 9. Единственная пара: b = 0, a = 9 → ab = 90.
5) Всего подходящих ab: 9 + 6 + 1 = 16.
6) Список всех двузначных чисел ab, удовлетворяющих условию:
10, 21, 32, 40, 43, 51, 54, 62, 65, 73, 76, 84, 87, 90, 95, 98.
Примечание: если считать натуральные числа включая ноль (иногда встречается в разных источниках), то можно добавить случаи a = b (d = 0), тогда будет еще 9 чисел, итого 25. В большинстве школьных задач под «натуральное число» подразумевают положительное целое, поэтому здесь 16.
