Задача 2.2 Компания по прокладке труб владеет тремя складами в г. Владимир, г. Рязань и г. Нижний Новгород. Склад в г. Рязань планируют модернизировать с целью сокращения условно-постоянных затрат для того, чтобы на участке г. Владимир - г. Рязань эффективная зона доставки со стороны г. Рязань увеличилась на 40 км. Определить величину условно-постоянных затрат на отправку груза со склада в г. Рязань, чтобы было выполнено поставленное условие. Рассчитать зоны доставки на участке г. Владимир - г. Нижний Новгород. Склад Условно-постоянные расходы, руб У словно-переменные расходы, руб/км г. Рязань 3400 23 г. Нижний Новгород 3900 19 г. Владимир 3700 20 Участок Расстояние, км Нижний Новгород Рязань 430 Рязань Владимир 240 Владимир Нижний Новгород 240

Задача 2.2 решается как задача выбора оптимального склада по минимальной полной стоимости доставки: F (условно-постоянные затраты) + v · расстояние. Даны: - Склады: Рязань (R), Нижний Новгород (N), Владимир (V) - Условно-постоянные затраты (F): F_R = 3400 руб, F_N = 3900 руб, F_V = 3700 руб - Условно-переменные затраты за км (v): v_R = 23 руб/км, v_N = 19 руб/км, v_V = 20 руб/км - Расстояния между городами: R–V = 240 км, V–N = 240 км, N–R = 430 км - На участке Владимир–Рязань эффективная зона доставки со стороны Рязани должна увеличить свою длину на 40 км (по условию). Нужно найти требуемую величину F_R после модернизации и рассчитать зоны доставки на участке Владимир–Нижний Новгород. 1) Определим текущую границу зон на участке Владимир–Рязань (до модернизации) Пусть x — расстояние от города Рязань до точки границы на участке Рязань–Владимир (0 ≤ x ≤ 240). Условия равенства затрат от двух складов на границе: F_R + v_R · x = F_V + v_V · (240 − x) Подставляем данные: 3400 + 23x = 3700 + 20(240 − x) = 3700 + 4800 − 20x = 8500 − 20x Тогда (23 + 20)x = 8500 − 3400 → 43x = 5100 → x = 5100/43 ≈ 118.6 км Значит, до модернизации граница лежала примерно в 118.6 км от Рязани (или ≈ 121.4 км от Владимира). 2) Условие задачи: граница на участке Владимир–Рязань должна увеличиться на 40 км Новое требование: x_new = x_old + 40 ≈ 118.6 + 40 ≈ 158.6 км. Найдём новую величину F_R (после модернизации), при которой граница окажется в этом месте. Граница по той же формуле: x = (F_V + v_V·240 − F_R) / (v_R + v_V) Поставим x = 158.605 (с округлением): 158.605 = (3700 + 20·240 − F_R) / 43 Умножим на 43: 43·158.605 = 3700 + 4800 − F_R 6,820.015 = 8,500 − F_R F_R = 8,500 − 6,820.015 ≈ 1,679.985 руб Итак, требуемая величина условно-постоянных затрат на отправку груза со склада в г. Рязань после модернизации примерно равна 1,680 руб. 3) Рассчитаем зоны доставки на участке Владимир–Нижний Новгород На участке Владимир–Нижний Новгород длина равна 240 км. Пусть s — расстояние от Владимира до точки на этом участке (0 ≤ s ≤ 240). Затраты на каждую точку: - from Vladimir: C_V = F_V + v_V · s = 3700 + 20s - from Нижний Новгород: расстояние до точки = (240 − s), C_N = F_N + v_N · (240 − s) = 3900 + 19(240 − s) = 8460 − 19s - from Рязань: расстояние от Рязани до точки на VN-участке — минимальное из двух путей: путь через Владимир: d_RV = 240 + s путь через Нижний: d_RN = 670 − s d_R = min(240 + s, 670 − s) Тогда C_R = F_R' + v_R · d_R, где F_R' — новая величина F_R после модернизации (≈ 1,680). Проверим, может ли Рязань конкурировать на VN-участке после модернизации. Рассчитаем оба варианта: - Для s ≤ 215: d_R = 240 + s → C_R1 = F_R' + 23(240 + s) = F_R' + 5520 + 23s - Для s ≥ 215: d_R = 670 − s → C_R2 = F_R' + 23(670 − s) = F_R' + 15410 − 23s С учетом F_R' ≈ 1680: - C_R1 ≈ 1680 + 5520 + 23s = 7200 + 23s - C_V = 3700 + 20s Сравнение C_R1 и C_V: 7200 + 23s = 3700 + 20s → 3s = −3500 → s отрицательно, значит C_R1 > C_V на всём диапазоне s∈[0,215]. То есть Рязань не конкурирует с Владимиром на этом участке. - C_R2 ≈ 1680 + 15410 − 23s = 17190 − 23s - C_NN = 8460 − 19s Сравнение C_R2 и C_NN: 17190 − 23s = 8460 − 19s → −4s = −872…5 → s ≈ 2180, т.е. за пределами диапазона. Значит C_R2 > C_NN на всём диапазоне s∈[215,240]. Следовательно, после модернизации на участке Владимир–Нижний Новгород склад Рязань всё равно не обеспечивает доставку (его стоимость выше, чем у Владимир или Нижний Новгород) на любом участке VN. Поэтому зоны на VN-участке состоят из двух зон: - с точки Владимира (s от 0 до s*), где минимальная стоимость — у склада Владимира - с точки от с* до 240 — у склада Нижнего Новгорода Граница между Владимиром и Нижним Новгородом определяется равенством затрат Vladimir и Нижний Новгород: F_V + v_V · s = F_N + v_N · (240 − s) 3700 + 20s = 3900 + 19(240 − s) = 3900 + 4560 − 19s = 8460 − 19s 39s = 4760 s* ≈ 4760 / 39 ≈ 122.051 Итого после модернизации: - Расстояние от Владимира до границы VN–участка между зонами: примерно 122.05 км. - Зона Владимира на участке VN: от 0 до примерно 122.05 км. - Зона Нижнего Новгорода на участке VN: от примерно 122.05 км до 240 км. - Зона Рязани на участке Владимир–Нижний Новгород отсутствует (Рязань не образует выгодную зону на этом участке даже после снижения F_R до ≈ 1680 руб). Итог: - Требуемая величина условно-постоянных затрат на отправку груза со склада в Рязани после модернизации: примерно 1 680 рублей. - Зоны доставки на участке Владимир – Нижний Новгород: Владимир обслуживает первые ~122.1 км, Нижний Новгород — оставшиеся ~117.9 км; Рязань на этом участке не обслуживает груз.