В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Допустим, в классе есть N учеников. Рассмотрим два случая:

1. В классе больше болтунов, чем молчунов.
2. В классе больше молчунов, чем болтунов.

Пусть в первом случае количество болтунов равно k, а количество молчунов равно N - k.

Так как каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то в классе обязательно есть пары "болтун-молчун". Предположим, что число болтунов в каждой такой паре нечетно. Тогда общее число болтунов в таких парах будет равно 2n+1, где n - количество пар "болтун-молчун". При этом общее число молчунов в таких парах будет равно n.

Так как общее число болтунов в классе равно k, а общее число молчунов в классе равно N - k, то получаем следующее уравнение: k = 2n + 1.

Из этого уравнения следует, что k - 1 = 2n. Поскольку k - 1 — четное число, оно делится на 2, что означает, что количества болтунов и молчунов не могут быть равными.

Таким образом, если в классе больше болтунов, чем молчунов, то обязательно есть некоторое количество пар "болтун-молчун", у которых четное число болтунов.

Поэтому учитель может пригласить на факультатив половину класса, состоящую из болтунов. Таким образом, все болтуны на факультативе будут молчать.

Аналогично рассмотрим второй случай, когда в классе больше молчунов, чем болтунов. Пусть количество молчунов равно k, а количество болтунов равно N - k.

Так как каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то в классе обязательно есть пары "болтун-молчун". Предположим, что число молчунов в каждой такой паре нечетно. Тогда общее число молчунов в таких парах будет равно 2n+1, где n - количество пар "болтун-молчун". При этом общее число болтунов в таких парах будет равно n.

Так как общее число молчунов в классе равно k, а общее число болтунов в классе равно N - k, то получаем следующее уравнение: k = 2n + 1.

Из этого уравнения следует, что k - 1 = 2n. Поскольку k - 1 — четное число, оно делится на 2, что означает, что количества молчунов и болтунов не могут быть равными.

Таким образом, если в классе больше молчунов, чем болтунов, то обязательно есть некоторое количество пар "болтун-молчун", у которых четное число молчунов.

Поэтому учитель может пригласить на факультатив половину класса, состоящую из молчунов. Таким образом, все молчуны на факультативе будут молчать.

Итак, в обоих случаях учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.