В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Допустим, у нас есть N учеников в классе. Чтобы доказать, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали, будем использовать принцип Дирихле.

Определим два множества: B – множество болтунов и M – множество молчунов. По условию, каждый болтун имеет хотя бы одного друга-молчуна. Значит, количество друзей-молчунов у каждого болтуна не меньше 1.

Рассмотрим случай, когда по крайней мере половина учеников класса – это болтуны, то есть |B| >= N/2.

Если в классе нечетное количество учеников, то пригласим всех болтунов на факультатив. Таким образом, будут исполняться оба условия: на факультативе будет присутствовать не менее половины класса, а также все присутствующие будут молчать, так как количество их друзей-молчунов будет четным.

Рассмотрим случай, когда в классе четное количество учеников, то есть N = 2k, где k – натуральное число.

По принципу Дирихле, если мы распределим k молчунов по k болтуна, то в каком-то из пар станет четное количество молчунов.

Теперь предположим, что количество молчунов в каждой паре с разными болтунами четное. Тогда сумма четных чисел будет также четной. Но, по условию, говорится, что в классе четное количество молчунов. Из этого следует, что наше предположение неверно.

Значит, существует пара болтун-молчун, в которой количество молчунов четное. Пригласим на факультатив эту пару, в результате чего все присутствующие будут молчать.

Таким образом, мы доказали, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.