В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Предположим, что уверитель может пригласить на факультатив не более половины класса так, чтобы все присутствующие болтуны молчали. Это значит, что остается более половины класса, где все ученики являются болтуными.

Поскольку каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, это означает, что каждый болтун имеет хотя бы одного друга-молчуна в классе.

Предположим теперь, что есть группа болтунов размером меньше половины класса, где все ученики болтуны. Это означает, что в этой группе не может быть достаточного числа молчунов, чтобы каждый болтун имел хотя бы одного друга-молчуна.

Теперь возьмем остаток класса, который состоит как из болтунов, так и из молчунов. Поскольку каждый болтун имеет хотя бы одного друга-молчуна, это означает, что количество болтунов в остатке класса должно быть не более, чем половина остатка класса.

Таким образом, мы пришли к противоречию, исходное предположение неверно.

Следовательно, учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.