диагональ прямоугольника образует угол 40 градусов с одной из его сторон.Найдите тупой угол между диагоналями это прямоугольника

Ответ: 100°

Пошаговое решение

1. Пусть стороны прямоугольника имеют длины a и b. Диагональ образует угол α = 40° с одной из сторон (возьмем основание a). Тогда тангенс угла равен tan α = b / a.

2. Диагонали прямоугольника имеют направления с углами α и 180° − α относительно стороны a, то есть их наклоны равны m1 = b / a и m2 = −b / a.

3. Угол между двумя прямыми (диагоналями) φ удовлетворяет формуле tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.

   Подстановка даёт: tan φ = |(−b/a − b/a) / (1 + (b/a)(−b/a))| = |(−2b/a) / (1 − b^2/a^2)| = |2 tan α / (1 − tan^2 α)| = |tan(2α)|. Значит φ либо равно 2α, либо равно 180° − 2α, в зависимости от того, какой из углов считать “помещенным в глазки” (острый или тупой).

4. Так как α = 40°, получаем 2α = 80°. Это острый угол между диагоналями. Следовательно тупой угол между диагоналями равен 180° − 80° = 100°.

Ответ: 100°.