В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Для доказательства данного утверждения построим алгоритм, который позволит учителю пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Пусть в классе всего N учеников, из которых M - болтуны, а N - M - молчуны.

Шаг 1: Выберем из класса произвольного болтуна и поставим его на факультатив.

• Теперь в классе осталось N-1 ученик, из которых M-1 - болтуны и N-M - молчуны.
• Если на факультативе оказывается болтун, значит, он молчит, так как количество его друзей-молчунов стало нечетным (M-1) и условие задачи выполняется.
• Если на факультативе оказывается молчун, то оставляем одного болтуна на факультативе и переходим к шагу 2.

Шаг 2: Выбираем следующего болтуна и ставим его на факультатив.

• Теперь в классе осталось N-2 ученика, из которых M-2 - болтуны и N-M - молчуны.
• Если на факультативе оказывается болтун, значит, он молчит, так как количество его друзей-молчунов стало нечетным (M-2) и условие задачи выполняется.
• Если на факультативе оказывается молчун, то оставляем этого молчуна на факультативе и переходим к шагу 3.

Продолжаем таким образом проводить шаги 2 и 3, пока на факультативе не окажутся все M/2 болтунов.

После выполнения алгоритма на факультативе окажутся M/2 болтунов и соответственно N/2 молчунов. Причем все болтуны будут молчать, так как количество их друзей-молчунов будет нечетным (M/2), а условие задачи было именно таким.

Таким образом, доказано, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.