1. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5,В = 110°. Найдите неизвестные элементы треугольника.

Цель: понять решение детально.

Дано треугольник ABC с AB = 4, BC = 5 и угол B = 110°. Найдём неизвестные элементы: AC (сторона b), углы A и C.

1. Обозначения

• В обычной нотации против угла A лежит сторона a = BC = 5.
• Против угла B лежит сторона b = AC (неизвестна).
• Против угла C лежит сторона c = AB = 4.
• Дано угол B = 110°.

2. Найдём сторону AC (b) с помощью закона косинусов b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B cos 110° = -cos 70° ≈ -0.342020 Тогда b^2 = 5^2 + 4^2 - 2·5·4·cos 110° = 25 + 16 - 40·(-0.342020) = 41 + 13.6808 ≈ 54.6808

b ≈ √54.6808 ≈ 7.395

3. Найдём углы A и C через закон синусов sin A / a = sin B / b ⇒ sin A = a sin B / b = 5 · sin 110° / 7.395 sin 110° = sin(70°) ≈ 0.9396926

sin A ≈ 5 · 0.9396926 / 7.395 ≈ 0.6355 A ≈ arcsin(0.6355) ≈ 39.5°

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому C = 180° − B − A ≈ 180° − 110° − 39.5° ≈ 30.5°

Проверка через синусы: sin C = c sin B / b ≈ 4 · 0.9396926 / 7.395 ≈ 0.508 C ≈ arcsin(0.508) ≈ 30.6° (совпадает с учётом округления).

4. Итог

• AC ≈ 7.40
• ∠A ≈ 39.5°
• ∠C ≈ 30.5°

Примечание: угол B = 110° делает треугольник obtuse в вершине B, что согласуется с найденными углами A и C (A + C ≈ 70°).