В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Если в классе количество болтунов больше или равно количеству молчунов. В этом случае учитель может пригласить на факультатив всех болтунов и некоторых молчунов, которые дружат с болтунами. Поскольку каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то у каждого болтуна будет хотя бы один друг на факультативе. Поскольку в кабинете присутствует четное количество друзей болтунов (потому что количество болтунов равно или больше количества молчунов), то все болтуны будут молчать, так как для каждого из них будет присутствовать четное количество друзей.

Случай 2: Если в классе количество молчунов больше количества болтунов. В этом случае учитель может пригласить на факультатив всех молчунов и некоторых болтунов, которые дружат с молчунами. Поскольку каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то у каждого молчуна будет хотя бы один друг на факультативе. Поскольку в кабинете присутствует нечетное количество друзей болтунов (потому что количество молчунов больше количества болтунов), то все болтуны будут молчать, так как для каждого из них будет присутствовать нечетное количество друзей.

Таким образом, в обоих случаях учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны будут молчать.