В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Допустим, в классе всего N учеников, а K из них являются молчунами. Также, пусть M из молчунов являются друзьями болтуна. Теперь рассмотрим два случая:

1. M ≥ K/2: Если хотя бы половина молчунов являются друзьями болтуна, то учитель может пригласить на факультатив всех молчунов и их друзей болтунов. Таким образом, будет приглашено M + K/2 учеников. При этом, если нечетное число (M + K/2) учеников молчит, это значит, что хотя бы половина учеников (M + K/2)/2 молчит.

2. M < K/2: Если молчунов меньше половины класса, то учитель может пригласить на факультатив всех молчунов и всех их друзей болтунов. Но в этом случае некоторые молчуны могут не молчать. Пусть это число будет X, тогда число молчунов на факультативе будет равно M + X. Если все болтуны молчат, значит в кабинете находится четное число их друзей-молчунов, то есть (M + X)/2 должно быть четным. Так как M < K/2, то (M + X)/2 < K/2, следовательно, (M + X)/2 < K/2 + X/2. Таким образом, получаем, что (M + X)/2 < (M + K/2) / 2, и мы можем сделать вывод, что (M + X)/2 < (M + K/2) / 2 ≤ (M + K/2)/2. То есть, количество молчунов на факультативе меньше чем половина от общего числа учеников (M + K)/2.

Таким образом, в обоих случаях мы можем пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все пришедшие (M + K)/2 были болтуны и молчали. И это доказывает заданное утверждение.