В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим следующие случаи:
Пусть в классе нет ни одного болтуна. Тогда все ученики являются молчунами, и учитель может пригласить на факультатив половину класса (например, первую половину), чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.
Пусть в классе есть хотя бы один болтун. Обозначим количество учеников класса как n, а количество болтунов как m. Если m ≥ n/2, то учитель может просто пригласить всех болтунов на факультатив, и все присутствующие на факультативе болтуны будут молчать.
Предположим, что m < n/2. Рассмотрим множество S, которое содержит всех молчунов, дружащих хотя бы с одним болтуном. Так как каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то каждый молчун входит в множество S. Обозначим количество элементов в множестве S как k (k ≤ n/2).
Если учитель пригласит на факультатив всех учеников из множества S, то количество молчунов на факультативе будет равно k. Так как k ≤ n/2, то k < (n - k), то есть количество болтунов на факультативе будет меньше, чем количество молчунов. Следовательно, все присутствующие на факультативе болтуны будут молчать.
Таким образом, во всех случаях учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.
