Задача: доказать по индукции, что для всех натуральных n и положительных a, b выполняется неравенство
2^(n-1) (a^n + b^n) ≥ (a + b)^n, при a > 0, b > 0.
План решения:
- Основание индукции (n = 1).
- Шаг индукции: покажем, что если неравенство верно для некоторого n, то верно и для n+1.
- Важная вспомогательная единица: для любых n ≥ 1 и a, b > 0 верно
2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b).
Эта неравенство доказывается алгеброй.
Доказательство.
Основание (n = 1):
2^(1-1) (a^1 + b^1) = a + b = (a + b)^1. Получаем равенство. Основание верно.
Лемма (вспомогательное неравенство):
Для любых n ≥ 1 и a, b > 0:
2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b).
Доказываем:
2(a^(n+1) + b^(n+1)) − (a^n + b^n)(a + b)
= [2a^(n+1) − a^(n+1) − a^n b] + [2b^(n+1) − b^(n+1) − a b^n]
= a^(n+1) + b^(n+1) − a^n b − a b^n
= a^n(a − b) + b^n(b − a)
= (a − b)(a^n − b^n).
Теперь заметим, что
(a^n − b^n) = (a − b)(a^(n−1) + a^(n−2)b + ... + b^(n−1)).
Следовательно
(a − b)(a^n − b^n) = (a − b)^2 (a^(n−1) + a^(n−2)b + ... + b^(n−1)) ≥ 0,
так как a, b > 0 и сумма положительных слагаемых положительна. Значит
2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b). ∎
- Шаг индукции:
Пусть для некоторого n верно
2^(n−1)(a^n + b^n) ≥ (a + b)^n.
Умножим неравенство-лемму на 2^(n−1):
2^n(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ 2^(n−1)(a^n + b^n)(a + b).
По предположению индукции 2^(n−1)(a^n + b^n) ≥ (a + b)^n, значит
2^n(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a + b)^n (a + b) = (a + b)^(n+1).
Значит неравенство верно и для n+1. По принципу математической индукции оно верно для всех n ∈ N.
Итого, при a > 0 и b > 0 выполняется
2^(n−1) (a^n + b^n) ≥ (a + b)^n для всех натуральных n.
Замечание по равенству: равенство в лемме 2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b) достигается при a = b. В базисе же для n = 1 равенство достигается тогда же, когда a = b.
