11. Доказать, что для всех натуральных и справедливы неравенства: принципом математической индукции 6) 2 ^ (n - 1) * (a ^ n + b ^ n) >= (a + b) ^ n если a > 0 и b > 0
Задача: доказать по индукции, что для всех натуральных n и положительных a, b выполняется неравенство 2^(n-1) (a^n + b^n) ≥ (a + b)^n, при a > 0, b > 0.
План решения:
- Основание индукции (n = 1).
- Шаг индукции: покажем, что если неравенство верно для некоторого n, то верно и для n+1.
- Важная вспомогательная единица: для любых n ≥ 1 и a, b > 0 верно 2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b). Эта неравенство доказывается алгеброй.
Доказательство.
Основание (n = 1): 2^(1-1) (a^1 + b^1) = a + b = (a + b)^1. Получаем равенство. Основание верно.
Лемма (вспомогательное неравенство): Для любых n ≥ 1 и a, b > 0: 2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b).
Доказываем: 2(a^(n+1) + b^(n+1)) − (a^n + b^n)(a + b) = [2a^(n+1) − a^(n+1) − a^n b] + [2b^(n+1) − b^(n+1) − a b^n] = a^(n+1) + b^(n+1) − a^n b − a b^n = a^n(a − b) + b^n(b − a) = (a − b)(a^n − b^n).
Теперь заметим, что (a^n − b^n) = (a − b)(a^(n−1) + a^(n−2)b + ... + b^(n−1)). Следовательно (a − b)(a^n − b^n) = (a − b)^2 (a^(n−1) + a^(n−2)b + ... + b^(n−1)) ≥ 0, так как a, b > 0 и сумма положительных слагаемых положительна. Значит 2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b). ∎
- Шаг индукции: Пусть для некоторого n верно 2^(n−1)(a^n + b^n) ≥ (a + b)^n. Умножим неравенство-лемму на 2^(n−1): 2^n(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ 2^(n−1)(a^n + b^n)(a + b).
По предположению индукции 2^(n−1)(a^n + b^n) ≥ (a + b)^n, значит 2^n(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a + b)^n (a + b) = (a + b)^(n+1).
Значит неравенство верно и для n+1. По принципу математической индукции оно верно для всех n ∈ N.
Итого, при a > 0 и b > 0 выполняется 2^(n−1) (a^n + b^n) ≥ (a + b)^n для всех натуральных n.
Замечание по равенству: равенство в лемме 2(a^(n+1) + b^(n+1)) ≥ (a^n + b^n)(a + b) достигается при a = b. В базисе же для n = 1 равенство достигается тогда же, когда a = b.
Обсуждение
2 сообщениядругое решение
Конечно! Давайте рассмотрим другое доказательство неравенства \(2^{n-1} (a^n + b^n) \geq (a + b)^n\) для всех натуральных \(n\) и положительных \(a\) и \(b\).
Для этого будем использовать принцип индукции и неравенство Миунга.
Доказательство:
1) Основание индукции \(n = 1\):
Для \(n = 1\) неравенство превращается в: \[ 2^{1-1} (a^1 + b^1) \geq (a + b)^1 \] что эквивалентно: \[ a + b \geq a + b, \] что является истинным равенством.
2) Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого натурального \(k\) справедливо: \[ 2^{k-1} (a^k + b^k) \geq (a + b)^k. \]
Теперь покажем, что это верно для \(k + 1\): \[ 2^{k} (a^{k+1} + b^{k+1}) \geq (a + b)^{k+1}. \]
Мы можем разложить правую часть с использованием бинома Ньютона: \[ (a + b)^{k+1} = (a + b)(a + b)^k = (a + b)\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^j b^{k-j} = a^{k+1} + b^{k+1} + \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{j+1} b^{k-j} + \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^j b^{k+1-j}. \]
Сложим выражения: \[ 2^{k} (a^{k+1} + b^{k+1}) + 2^{k} \left( \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{j+1} b^{k-j} + \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{j} b^{k+1-j} \right). \]
По предположению индукции, у нас есть: \[ \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^j b^{k-j} \geq 2^{k-1} (a^k + b^k). \]
Таким образом, мы можем оценить: \[ a^{k+1} + b^{k+1} \geq \frac{(a + b)^{k+1}}{2^k}. \]
Использование неравенства Миунга
Применим неравенство Миунга (или неравенство для среднегармонических и среднегеометрических величин): \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \] что дает нам \[ a^{k+1} + b^{k+1} \geq 2\sqrt{(ab)^{k+1}}. \]
Сложив все вместе и учитывая, что у нас есть неравенство для среднего геометрического: \[ (a + b)^{k} \geq 2^{k-1} (a^{k} + b^{k}), \]
мы можем консолидировать:
\[ 2^{k} (a^{k+1} + b^{k+1}) \geq (a + b)^{k+1}. \]
Заключение
Таким образом, мы доказали, что если неравенство верно для натурального числа \(k\), то оно также верно для \(k + 1\). Так как оно выполняется для \(n = 1\) и истинно для всех натуральных \(n\), по принципу математической индукции, неравенство \(2^{n-1} (a^n + b^n) \geq (a + b)^n\) верно для всех натуральных \(n\).
Это завершает доказательство.
