Выберите предметные результаты освоения программы по учебному курсу «Алгебра и начала математического анализа» на уровне среднего общего образования, которые должны быть освоены в…

Ниже представлены предметные результаты освоения раздела «Функции и графики» по учебному курсу «Алгебра и начала математического анализа» на уровне среднего общего образования, 10 класс (базовый уровень). Формулировки ориентированы на то, что учащийся должен уметь делать и понимать в рамках данного раздела.

1. Область определения и множество значений функции

• Учащийся сможет: определить область определения функции по заданной формуле, графику или условию задачи; определить множество значений (множество значений) функции; объяснить связь между областью определения и графиком.
• Пример: найти домен f(x)=√(x−2) и диапазон её значений.

2. Нули функции

• Учащийся сможет: находить нули функции (решать уравнения f(x)=0 и соответствующие неравенства); интерпретировать нули на графике и в контексте задачи.
• Пример: найти x, при котором y=f(x) = x^2−3x+2 равен нулю.

3. Промежутки знакопостоянства

• Учащийся сможет: определить, на каких промежутках функция положительная, отрицательная или нулевая; составлять разрезку по нулям и знакам; строить график с учетом знакопостоянства.
• Пример: определить знаки f(x)= (x−1)(x+4) на промежутках (-∞,−4), (−4,1), (1,∞).

4. Четные и нечетные функции

• Учащийся сможет: распознавать по формуле или графику, является ли функция четной или нечетной; объяснять геометрические свойства графика (симметрия относительно осей); использовать эти свойства для упрощения анализа и построения графиков.
• Пример: проверить f(−x) и определить симметрию графика функции f(x)= x^4−x^2.

5. Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей в реальной жизни

• Учащийся сможет: считывать данные с графика, делать выводы о зависимостях между величинами, объяснять реальные ситуации через графики функций; формулировать математическую модель задачи.
• Пример: по графику зависимости скорости от времени сделать вывод о её росте или убыли и предсказать поведение на интервале.

6. Степенная функция с натуральным и целым показателем; её свойства и график

• Учащийся сможет: записывать и строить график степенной функции y = x^n, где n∈N; различать случаи парности/непарности показателя, описывать монотонность, область определения и графические особенности; объяснять поведение функции при x→±∞.
• Пример: сравнить графики y = x^2 и y = x^3 и объяснить различия в кривизне и скорости роста.

7. Свойства и график корня n-й степени

• Учащийся сможет: объяснять график и свойства корня n-й степени y = n√x; определить область определения (для натурального n домен обычно x≥0 для нечетных n — решение на всей числовой прямой, для четных — x≥0); связывать корень с обратной степенной функцией; использовать график для анализа функций.
• Пример: построить график y = √x и отметить его основную характеристику: рост, неотрицательные значения и домен.

8. Функция, способы задания функции; график функции; взаимно обратные функции

• Учащийся сможет: формулировать функцию по табличному, аналитическому или графическому описанию; строить график заданной функции; находить взаимно обратную функцию и график её; проверять, что f(g(x)) и g(f(x)) ведут к ожидаемому результату на допустимом диапазоне.
• Пример: определить обратную функцию к f(x)=2x+3 и построить её график.

9. Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях

• Учащийся сможет: распознавать зависимости между величинами в реальных ситуациях, выбирать подходящую функциональную модель, анализировать графики реальных зависимостей, объяснять смысл параметров модели.
• Пример: использовать пропорциональную зависимость y = kx для моделирования расхода топлива в зависимости от пройденного пути при заданном коэффициенте.

10. График композиции функций

• Учащийся сможет: строить и анализировать график композиции функций y = f(g(x)); понимать, как изменение входной функции влияет на выходную, и наоборот; находить домены композиции.
• Пример: разобрать график y = (x+1)^2 после применения функции f(t)=√t и объяснить, как изменится график.

11. Геометрические образы уравнений и неравенств на координатной плоскости

• Учащийся сможет: интерпретировать геометрически уравнения и неравенства как графики на координатной плоскости; объяснять, какие фигуры представляют решения, как при пересечении графиков возникают решения систем неравенств.
• Пример: по графику линии y = 2x+1 и окружности x^2+y^2=4 определить точки пересечения и их смысл в контексте задачи.

12. Способы задания функций и их связь с графиками

• Учащийся сможет: сравнивать несколько способов задания одной и той же функции (таблица, формула, график) и переходить между ними; объяснять преимущества каждого способа в разных задачах.
• Пример: привести пример функции, заданной формулой и её график показать эквивалентность.

Если нужно, могу адаптировать формулировки под конкретную школьную программу или привести соответствие этим результатам конкретным разделам учебника/учебной программы, а также предложить примеры упражнений под каждый итоговый результат.