Вот простой пример выпуклого четырёхугольника с одним углом 135°.
Построение (координатное):
- Пусть вершина A = (0, 0), вершина B = (2, 0).
- Выберем вершину D так, чтобы угол BAD был 135°. Можно взять D = (-1, 1).
Тогда вектор AD = D − A = (-1, 1), а вектор AB = B − A = (2, 0).
- Чтобы получить выпуклый четырёхугольник легко и гарантированно выпуклый, сделаем ABCD параллелограммом. Тогда C = B + AD = (2, 0) + (-1, 1) = (1, 1).
Итоговые вершины:
- A = (0, 0)
- B = (2, 0)
- C = (1, 1)
- D = (-1, 1)
Проверка угла A:
- Векторы из A: AB = (2, 0), AD = (-1, 1).
- Косинус угла между ними: cos(∠DAB) = (AB · AD) / (|AB| |AD|) = (2·(-1) + 0·1) / (2 · √((-1)^2 + 1^2)) = (-2) / (2√2) = -1/√2.
- arccos(-1/√2) = 135°. Значит угол BAD = 135°.
Проверка выпуклости:
- Все последовательные разнонаправления поворотов положительные (помечены по знакам векторного произведения), значит ABCD выпуклый.
- Также можно увидеть, что AB параллельно CD, а AD параллельно BC, т.е. это параллелограмм, что гарантирует выпуклость.
Итого: существует множество таких четырехугольников; приведённый пример ABCD с вершинами A(0,0), B(2,0), C(1,1), D(-1,1) удовлетворяет условию: один угол равен 135°, фигура выпуклая. Если нужно, могу привести другие варианты (например, без параллелограммной формы).
