Скільки буде

Задача містить чотири нерівності. Для кожної наведу покрокове доведення, що вона істина для будь-яких дійсних значень відповідних змінних (тобто без додаткових умов).

1. 2a - 3 < 2(a - 1)

• Розкриємо дужки: 2a - 3 < 2a - 2
• Перенесемо 2a обидві сторони: -3 < -2
• Це твердження завжди вірне (у числовій осі більше). Отже, нерівність справедлива для всіх a ∈ R.

2. c(c + 2) > c^2 + 2c - 3

• Обчислимо різницю між лівою та правою частинами: [c(c+2)] - [c^2 + 2c - 3] = (c^2 + 2c) - (c^2 + 2c - 3) = 3
• Оскільки 3 > 0, нерівність завжди виконується. Тому для будь-якого c ∈ R нерівність істина.

3. (x + 2)(x - 2) + 5 > x^2

• Розкриємо дужки: (x^2 - 4) + 5 > x^2
• Спрощуємо: x^2 + 1 > x^2
• Перенесемо x^2 з правої частини: 1 > 0
• Це твердження завжди правдиво. Значить, для будь-якого x нерівність справедлива.

4. 3m - 2 < m(m + 3)

• Перенесемо все в одну частину: 0 < m^2 + 3m - 3m + 2 = m^2 + 2
• Так як m^2 ≥ 0 для будь-якого m та m^2 + 2 ≥ 2 > 0, маємо 0 < m^2 + 2
• Отже, нерівність істина для всіх m ∈ R.

Висновок: усі чотири нерівності є твердими для будь-яких дійсних значень відповідних змінних.