шар радиусом r заряжен с объемной плотностью заряда p. найти напряженность поля внутри и снаружи шара как функцию расстояния от цента сферы E(x)

Задача: шар радиуса R заряжен однородной объемной плотностью p. Найти напряженность E в точке на расстоянии x от центра (векторная направленность radial outward).

Пояснение: используем сферическую симметрию и закон Гаусса. Обозначим ε0 как диэлектрическую проницаемость вакуума, x — расстояние от центра, R — радиус шара.

1. Пусть x ≤ R (внутри шара)

• Объем заряда в сфере радиуса x: Q_enc = p · (4/3)π x^3.
• Gauss law: ∮E·dA = Q_enc/ε0. В сфере радиуса x поле однонаправлено радиально и константно по поверхности: E(x) · 4π x^2 = Q_enc/ε0.
• Решая: E(x) = [p · (4/3)π x^3] / [ε0 · 4π x^2] = (p x) / (3 ε0).
• Направление: radially outward (вектор E внутри E = (p x) / (3 ε0) * x̂).

2. Пусть x ≥ R (снаружи шарa)

• Общий заряд шара: Q = p · (4/3)π R^3.
• Gauss law для сферы радиуса x: E(x) · 4π x^2 = Q/ε0.
• Решая: E(x) = [p · (4/3)π R^3] / [ε0 · 4π x^2] = (p R^3) / (3 ε0 x^2).
• Направление: radially outward (вектор E вне шара: E = (p R^3)/(3 ε0 x^2) * x̂).

Итого, поле внутри и снаружи шара как функция расстояния x:

• При x ≤ R: E(x) = (p x) / (3 ε0), направлено radially outward. Векторная форма: E = (p x)/(3 ε0) · x̂.
• При x ≥ R: E(x) = (p R^3) / (3 ε0 x^2), направлено radially outward. Векторная форма: E = (p R^3)/(3 ε0 x^2) · x̂.

Замечания

• При x = R значения совпадают: E(R) = pR/(3ε0).
• Глобальный заряд шара: Q = (4/3)π p R^3. Это можно проверить, подставив в формулу для внешнего поля: E(x) ≈ (1/(4π ε0)) · Q / x^2.