доказать что высота прямоугольника треугольника проведёна из вершины прямого угла разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника каждый из которых подобен…

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C опустим высоту CD на гипотенузу AB (D лежит на AB). Доказать, что треугольники ACD и BCD подобны данному треугольнику ABC и, следовательно, оба они подобны друг другу.

Пусть ∠C = 90°, CD ⟂ AB.

1. Треугольник ACD подобен треугольнику ABC.

• В ACD угол CDA равен 90° (D лежит на AB, а CD ⟂ AB).
• В ABC угол ACB равен 90° (C — прямой угол треугольника ABC).
• Утверждение ∠CAD = ∠CAB: луч AD лежит на гипотенузе AB, поэтому угол CAD образован лучами CA и AD, а угол CAB — лучами CA и AB; поскольку AD и AB лежат на одной прямой, эти два угла равны.
• Таким образом два угла равны: ∠CDA = ∠ACB = 90° и ∠CAD = ∠CAB. По признаку AA треугольники ACD и CAB (то есть ABC) подобны: ACD ~ ABC.

2. Треугольник CBD подобен треугольнику CBA (то же самое треугольник ABC, но в другом порядке вершин).

• Угол CDB равен 90° (CD ⟂ AB, DB лежит на AB).
• Угол BCA равен 90° (как выше, ∠ACB = 90°; это то же самое направление угла в треугольнике ABC).
• Угол CBD равен углу CBA: BD лежит на BA, поэтому угол между BC и BD равен углу между BC и BA.
• Следовательно triangles CBD и CBA (то есть ABC) тоже подобны: CBD ~ CBA ~ ABC.

3. Вывод.

• Из п.1 ACD подобен ABC.
• Из п.2 CBD подобен ABC.
• Отсюда оба малого треугольника ACD и CBD подобны данному треугольнику ABC, и так же они подобны друг другу (посредством транзитивности подобия через ABC).

Итог: высота CD, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу AB, делит прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику ABC, и следовательно они подобны друг другу.

Дополнительный комментарий (опционально): можно получить соотношения сторон через подобие, например AD и BD выражаются через стороны исходного треугольника: AD пропорционально AC как AB, BD пропорционально BC как AB (детали можно вывести из найденного соответствия сторон при AA-подобии). Также известны геометрические средние свойства: CD^2 = AD · BD и т.д. Но главное доказательство состоять в AA-подобии двух мелких треугольников с исходным треугольником.