Объем параллелепипеда равен 24. Найдите объем треугольной пирамиды, одна из вершин которой совпадает с вершиной параллелепипеда, а три другие лежат на серединах сторон…
Объем параллелепипеда равен 24. Найдите объем треугольной пирамиды, одна из вершин которой совпадает с вершиной параллелепипеда, а три другие лежат на серединах сторон параллелепипеда
Задача подходит для понимания геометрии в объёме. Пусть параллелепипед имеет стороны a, b, c и объем V = abc = 24.
Рассмотрим вершину O параллелепипеда и три ребра, выходящие из неё. Их середины координатами соответственно: A = (a/2, 0, 0), B = (0, b/2, 0), C = (0, 0, c/2).
Тетраэдр OABC имеет объем V_t = |det(A, B, C)| / 6.
Поскольку матрица столбцов A, B, C диагональная,Det(A, B, C) = (a/2)·(b/2)·(c/2) = abc/8.
Значит V_t = (abc/8) / 6 = abc / 48.
Так как abc = 24, получаем V_t = 24 / 48 = 1/2.
Ответ: объём треугольной пирамиды равен 0.5 кубических единиц.
Дополнительно заметка: объём тетраэдра пропорционален объему параллелепипеда; если вершина совпадает с вершиной, а три другие вершины — середины трёх смежных ребер, то общий фактор сокращения по объёму равен 1/48.
