Разложите на множители трёхчлены. 15 − 16 𝑥 + 4 𝑥 2 = 0 15−16x+4x 2 =0 𝑥 + 𝑥 2 − 20 = 0 x+x 2 −20=0 Решите уравнения 𝑥 4 − 5 𝑥 2 − 14 = 0 x 4 −5x 2 −14=0 Постройте параболу 𝑦 = − ( 𝑥 − 2 ) 2 − 2 y=−(x−2) 2 −2 Решите неравенство: ( 𝑥 − 1 ) ( 4 − 𝑥 ) ( 𝑥 + 7 ) ≥ 0 (x−1)(4−x)(x+7)≥0 ( 𝑥 − 4 ) ( 𝑥 + 1 ) 𝑥 − 4 ≤ 0 x−5 (x−4)(x+1) ​ ≤0

Ниже подробные решения по каждому заданию. Так как цель — понять, привожу разумно подробные шаги и объяснения. 1) Разложите на множители 15 − 16x + 4x^2 = 0 - Приведём к стандартному порядку: 4x^2 − 16x + 15 = 0. - Ищем факторизацию вида (ax + b)(cx + d) с ac = 4 и bd = 15, и сумма линейных коэффициентов −16. - Применяем разложение 4x^2 − 16x + 15 = (2x − 5)(2x − 3). - Проверка: (2x − 5)(2x − 3) = 4x^2 − 6x − 10x + 15 = 4x^2 − 16x + 15. - Отсюда корни: 2x − 5 = 0 → x = 5/2; 2x − 3 = 0 → x = 3/2. - Ответ: x = 3/2 или x = 5/2. 2) Разложите на множители x + x^2 − 20 = 0 - Приводим к стандартному уравнению: x^2 + x − 20 = 0. - Факторизация: (x + 5)(x − 4) = 0. - Корни: x = −5 или x = 4. - Ответ: x = −5 или x = 4. 3) Решите уравнение x^4 − 5x^2 − 14 = 0 - Пусть t = x^2 (t ≥ 0). Тогда получаем квадратно-четвёртое уравнение: t^2 − 5t − 14 = 0. - Решение по дискриминанту: D = 25 + 56 = 81, поэтому t = (5 ± 9)/2. - t = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7; t = (5 − 9)/2 = −4/2 = −2. - Поскольку t = x^2 не может быть отрицательным, отбросим t = −2. - Значит x^2 = 7, откуда x = ±√7. - Ответ: x = √7 или x = −√7. 4) Постройте параболу y = −(x − 2)^2 − 2 - В параболе ведём в виде вершины: y = −(x − h)^2 + k, здесь h = 2, k = −2. Значит вершина параболы в точке (2, −2), ветви открыты вниз. - Ось симметрии: x = 2. - y-перехват: при x = 0 получаем y = −(−2)^2 − 2 = −4 − 2 = −6, следовательно точка (0, −6). - x-перехватов нет, потому что для решения −(x − 2)^2 − 2 = 0 мы получаем (x − 2)^2 = −2, что невозможно в R. - Кратко: парабола открыта вниз, вершина (2, −2), пересечение с осью y в (0, −6), нет реальных x-пересечений. 5) Решите неравенство: (x − 1)(4 − x)(x + 7) ≥ 0 - Заметим, что 4 − x = −(x − 4). Можно работать так же, как с любым произведением, зная нули и их порядок. - Нули произведения: x = 1, x = 4, x = −7. Разделим осью на интервалы: (−∞, −7], [−7, 1], [1, 4], [4, ∞). - Подбираем тестовые точки и определяем знак произведения на каждом интервале: - x < −7, возьмём x = −8: (−8−1)·(4−(−8))·(−8+7) = (−9)·12·(−1) = положительно. - −7 < x < 1, возьмём x = 0: (−1)·4·7 = отрицательно. - 1 < x < 4, возьмём x = 2: (1)·2·9 = положительно. - x > 4, возьмём x = 5: (4)·(−1)·12 = отрицательно. - Значит знак неотрицателен на интервалах: (−∞, −7] и [1, 4]. - Так как неравенство ≥ 0, включаем точки нулей: x = −7, x = 1, x = 4 включены. - Ответ: x ∈ (−∞, −7] ∪ [1, 4]. 6) Вторая неясная запись: (x−4)(x+1) x−4 ≤ 0 - Тут очевидно проблема с форматированием (вероятно, пропущена разделительная черта). Ниже даны две наиболее вероятные трактовки и решения. Вариант А. Если имелась неравенство вида (x−4)(x+1)/(x−4) ≤ 0 - Это равно (x+1) при x ≠ 4, поэтому неравенство эквивалентно x + 1 ≤ 0 с учётом того, что точка x = 4 исключена из области определения. - Решение: x ≤ −1 (и x ≠ 4, но 4 не удовлетворяет x ≤ −1, поэтому исключение не влияет). - Ответ: (−∞, −1]. Вариант Б. Если имелось неравенство вида (x−4)(x+1)(x−4) ≤ 0, то это (x−4)^2 (x+1) ≤ 0 - Поскольку (x−4)^2 ≥ 0 во всеёх x, знак произведения определяется знаком (x+1). - Кроме того, при x = 4 произведение равно 0 и удовлетворяет условию. - Решение: x ≤ −1 или x = 4. - Ответ: (−∞, −1] ∪ {4}. Уточните, пожалуйста, какая из двух форм была intended в вашем задании (или пришлите корректную запись). Я тогда дам окончательное решение именно под заданную вами версию. Итого по основным задачам: - 4x^2 − 16x + 15 = 0 → (2x − 5)(2x − 3) = 0 → x = 3/2, 5/2. - x^2 + x − 20 = 0 → (x + 5)(x − 4) = 0 → x = −5, 4. - x^4 − 5x^2 − 14 = 0 → x = ±√7. - y = −(x − 2)^2 − 2: вершина (2, −2), y-перехват −6, отсутствуют реальные x-пересечения. - Неравенство (x − 1)(4 − x)(x + 7) ≥ 0: решение (−∞, −7] ∪ [1, 4]. - Неясная последняя запись требует уточнения (см. варианты А и Б выше).