100 лотерейных билетов из них 5 выигрышом 1000 рублей. и 10 по 100

Класс задачи: вероятность/ожидаемый выигрыш в лотерее. Условия задачи: - Всего билетов: 100 - 5 билетов дают приз 1000 рублей - 10 билетов дают приз по 100 рублей - Остальные 85 билетов — без выигрыша Это можно рассматривать как выбор k билетов без замены (без повторов) из 100. Поддержим формулы для произвольного k. 1) Вероятности для одного билета - P(выигрыш 1000 руб) = 5/100 = 0.05 - P(выигрыш 100 руб) = 10/100 = 0.10 - P(ничего) = 85/100 = 0.85 2) Ожидаемый выигрыш на один билет E(выигрыш с одного билета) = 1000·0.05 + 100·0.10 = 50 + 10 = 60 рублей 3) При покупке k билетов без замены - Пусть X1 — число выигрышей по 1000 руб, X2 — число выигрышей по 100 руб, X0 — без выигрыша. - (X1, X2, X0) распределены как многомерная гипергеометрическая выборка из K = (5, 10, 85) по размеру выборки n = k. - Вероятность конкретного исхода: P(X1 = x1, X2 = x2) = [C(5, x1) · C(10, x2) · C(85, k − x1 − x2)] / C(100, k), где x1 = 0..5, x2 = 0..10, и x0 = k − x1 − x2 ∈ {0..85}. 4) Ожидаемые количества и сумма выигрыша при k билетах - E[X1] = k · (5/100) = 0.05k - E[X2] = k · (10/100) = 0.10k - E[Total prizes] = E[X1] + E[X2] = 0.15k (число выигрышей) - Ожидаемая сумма выигрыша: E[Total prize amount] = 1000·E[X1] + 100·E[X2] = 1000·0.05k + 100·0.10k = 60k рублей - Если взять все 100 билетов, то: E[выигрыш] = 60·100 = 6000 рублей (как раз потому, что всего разыгано 5·1000 + 10·100 = 5000 + 1000 = 6000 рублей) 5) Вероятности важных событий - Вероятность получить хотя бы один приз (любой величины) при покупке k билетов: P(хотя бы один приз) = 1 − C(85, k) / C(100, k) Это потому что “нет призов” означает, что все выбранные k билетов попали в 85 безпризовых. - Примеры: - k = 1: P = 1 − C(85,1)/C(100,1) = 1 − 85/100 = 0.15 (15%) - k = 3: P ≈ 1 − C(85,3)/C(100,3) ≈ 1 − 98 770 / 161 700 ≈ 0.3893 (≈ 38.9%) 6) Примеры вероятностей для конкретных случаев - Вероятность получить ровно один приз 1000 руб и никаких других призов: P(X1 = 1, X2 = 0) = [C(5,1) · C(10,0) · C(85, k−1)] / C(100, k) - Вероятность получить хотя бы один приз 1000 руб: P(X1 ≥ 1) = 1 − C(95, k) / C(100, k) - Вероятность получить хотя бы один приз по 100 руб: P(X2 ≥ 1) = 1 − C(90, k) / C(100, k) Важно: эти события не независимы друг от друга. Если нужно, могу: - посчитать конкретные числовые значения для вашего выбора k (например, для k = 5, 10, 20 и т. д.); - привести таблицу вероятностей по всем парам (x1, x2) для заданного k; - помочь сравнить ожидания при разных k. Скажите, какое значение k вас интересует, или уточните задачу (например, нужна ли вероятность хотя бы одного призa или распределение по призам).