100 лотерейных билетов из них 5 выигрышом 1000 рублей. и 10 по 100

Класс задачи: вероятность/ожидаемый выигрыш в лотерее.

Условия задачи:

• Всего билетов: 100
• 5 билетов дают приз 1000 рублей
• 10 билетов дают приз по 100 рублей
• Остальные 85 билетов — без выигрыша

Это можно рассматривать как выбор k билетов без замены (без повторов) из 100. Поддержим формулы для произвольного k.

1. Вероятности для одного билета

• P(выигрыш 1000 руб) = 5/100 = 0.05
• P(выигрыш 100 руб) = 10/100 = 0.10
• P(ничего) = 85/100 = 0.85

2. Ожидаемый выигрыш на один билет E(выигрыш с одного билета) = 1000·0.05 + 100·0.10 = 50 + 10 = 60 рублей

3. При покупке k билетов без замены

• Пусть X1 — число выигрышей по 1000 руб, X2 — число выигрышей по 100 руб, X0 — без выигрыша.
• (X1, X2, X0) распределены как многомерная гипергеометрическая выборка из K = (5, 10, 85) по размеру выборки n = k.
• Вероятность конкретного исхода: P(X1 = x1, X2 = x2) = [C(5, x1) · C(10, x2) · C(85, k − x1 − x2)] / C(100, k), где x1 = 0..5, x2 = 0..10, и x0 = k − x1 − x2 ∈ {0..85}.

4. Ожидаемые количества и сумма выигрыша при k билетах

• E[X1] = k · (5/100) = 0.05k
• E[X2] = k · (10/100) = 0.10k
• E[Total prizes] = E[X1] + E[X2] = 0.15k (число выигрышей)
• Ожидаемая сумма выигрыша: E[Total prize amount] = 1000·E[X1] + 100·E[X2] = 1000·0.05k + 100·0.10k = 60k рублей
• Если взять все 100 билетов, то: E[выигрыш] = 60·100 = 6000 рублей (как раз потому, что всего разыгано 5·1000 + 10·100 = 5000 + 1000 = 6000 рублей)

5. Вероятности важных событий

• Вероятность получить хотя бы один приз (любой величины) при покупке k билетов: P(хотя бы один приз) = 1 − C(85, k) / C(100, k) Это потому что “нет призов” означает, что все выбранные k билетов попали в 85 безпризовых.
• Примеры:
  • k = 1: P = 1 − C(85,1)/C(100,1) = 1 − 85/100 = 0.15 (15%)
  • k = 3: P ≈ 1 − C(85,3)/C(100,3) ≈ 1 − 98 770 / 161 700 ≈ 0.3893 (≈ 38.9%)

6. Примеры вероятностей для конкретных случаев

• Вероятность получить ровно один приз 1000 руб и никаких других призов: P(X1 = 1, X2 = 0) = [C(5,1) · C(10,0) · C(85, k−1)] / C(100, k)
• Вероятность получить хотя бы один приз 1000 руб: P(X1 ≥ 1) = 1 − C(95, k) / C(100, k)
• Вероятность получить хотя бы один приз по 100 руб: P(X2 ≥ 1) = 1 − C(90, k) / C(100, k) Важно: эти события не независимы друг от друга.

Если нужно, могу:

• посчитать конкретные числовые значения для вашего выбора k (например, для k = 5, 10, 20 и т. д.);
• привести таблицу вероятностей по всем парам (x1, x2) для заданного k;
• помочь сравнить ожидания при разных k.

Скажите, какое значение k вас интересует, или уточните задачу (например, нужна ли вероятность хотя бы одного призa или распределение по призам).