100 лотерейных билетов из них 5 с выйгрышом 1000 рублей и 10 по 100

Задача: среди 100 лотерейных билетов 5 выигрывают 1000 рублей, и 10 выигрывают по 100 рублей. Остальные призов нет. Делаем подробное решение и пояснения. 1) Вероятности для одного билета - Вероятность выигрыша 1000 рубля: P(1000) = 5/100 = 0.05. - Вероятность выигрыша 100 рублей: P(100) = 10/100 = 0.10. - Вероятность выиграть что-то (любой приз): P(любой приз) = (5 + 10)/100 = 15/100 = 0.15. - Вероятность не выиграть ничего: P(нет приза) = 85/100 = 0.85. 2) Математическое ожидание на один билет - Матем. ожидание (средний выигрыш) за один билет: EV = (5/100) * 1000 + (10/100) * 100 = 0.05*1000 + 0.10*100 = 50 + 10 = 60 рублей. 3) Если купить k билетов без замены (из 100) - Вероятность хотя бы одного приза среди k билетов: P(X ≥ 1) = 1 - C(85, k) / C(100, k), где C(n, m) — биномиальный коэффициент, 85 — число проигрышных билетов. - Вероятность ровно r призов (r можно 0,1,2,...,min(15,k)): P(X = r) = C(15, r) * C(85, k - r) / C(100, k). Замечание: здесь мы применяем гипергеометрическое распределение. 15 выигрышных билетов в совокупности из 100. 4) Примеры - Пример 1: k = 2 билета. - P(хотя бы один приз) = 1 - C(85, 2) / C(100, 2) = 1 - [(85*84/2) / (100*99/2)] = 1 - 7140/9900 ≈ 1 - 0.72 = 0.28 (28%). - Вероятность иметь ровно два приза: P(X = 2) = C(15, 2) / C(100, 2) = 105 / 4950 ≈ 0.0212 (≈ 2.12%). - Вероятность иметь ровно один приз: P(X = 1) = P(≥1) − P(2) ≈ 0.28 − 0.0212 ≈ 0.2588 (≈ 25.88%). - Пример 2: k = 10 билетов. - Потребуется считать по формуле P(X ≥ 1) = 1 − C(85, 10)/C(100, 10). Значение можно найти в калькуляторе по гипергеометрии. - Вероятности распределения по r можно получить по формуле P(X = r) = C(15, r) C(85, 10 − r) / C(100, 10) (для r от 0 до min(15, 10) = 10). 5) Что будет, если купить все 100 билетов - Всего выигрышей: 5 билетов по 1000 рубл. и 10 билетов по 100 рубл. - Общая сумма выигрышей: 5*1000 + 10*100 = 5000 + 1000 = 6000 рублей. - Вероятность получить приз при покупке всех билетов равна 1 (100%), разумеется, если считать только заданные призовые билеты. - Если учитывать стоимость билета p рублей, то чистый ожидаемый показатель от покупки всех билетов равен 6000 − 100p. 6) Короткие выводы - Вероятность выиграть что-то одним билетом: 15%. - Вероятность выиграть 1000 рублей одним билетом: 5%. - Средний выигрыш одного билета (математическое ожидание): 60 рублей. - Вероятности для нескольких билетов можно корректно посчитать через гипергеометрическое распределение (без замены). Если хочешь, могу посчитать точные значения для другого числа купленных билетов (например, для k = 3, 5, 20) или рассчитать ожидаемую сумму выигрышей при конкретной цене одного билета.