2sin2a+2cos2a-7
Задача: 2 sin(2a) + 2 cos(2a) − 7
Цель: Понять и подробно разобрать решение.
Решение пошагово
Упростим вид выражения: 2 sin(2a) + 2 cos(2a) − 7 = 2[sin(2a) + cos(2a)] − 7
Воспользуемся тригонометрическим тождеством sin x + cos x = √2 sin(x + π/4). Для x = 2a получаем: sin(2a) + cos(2a) = √2 sin(2a + π/4)
Подставим в выражение: 2[sin(2a) + cos(2a)] − 7 = 2[√2 sin(2a + π/4)] − 7 = 2√2 sin(2a + π/4) − 7
Итого, простая форма: 2√2 sin(2a + π/4) − 7
Определим диапазон значений (границы функции) Так как sin(…) ∈ [−1, 1], имеем:
- максимум: при sin(2a + π/4) = 1 → значение равно 2√2 · 1 − 7 = 2√2 − 7
- минимум: при sin(2a + π/4) = −1 → значение равно −2√2 − 7
Диапазон значений: [−7 − 2√2, −7 + 2√2]
Примеры значений a, соответствующие максимуму и минимуму
- Максима достигается, когда 2a + π/4 = π/2 + 2kπ → a = π/8 + kπ
- Минимума достигается, когда 2a + π/4 = 3π/2 + 2kπ → a = 5π/8 + kπ (когда k — целое число)
Кратко вывод
- Выражение можно представить как гармоническую функцию: 2√2 sin(2a + π/4) − 7
- Амплитуда синусоидальной части равна 2√2, поэтому диапазон значений −7 ± 2√2.
Обсуждение
2 сообщенияупростив
Конечно! Упростим выражение \( 2 \sin(2a) + 2 \cos(2a) - 7 \).
Факторизуем: \[ 2 \sin(2a) + 2 \cos(2a) - 7 = 2(\sin(2a) + \cos(2a)) - 7 \]
Сложим синус и косинус: Мы можем выразить \( \sin(2a) + \cos(2a) \) через сумму: \[ \sin(2a) + \cos(2a) = \sqrt{2} \sin(2a + \frac{\pi}{4}) \]
Подставим обратно: Таким образом, мы получаем: \[ 2 \sqrt{2} \sin\left(2a + \frac{\pi}{4}\right) - 7 \]
Так что упрощенное выражение выглядит так: \[ 2 \sqrt{2} \sin\left(2a + \frac{\pi}{4}\right) - 7 \]
Это окончательный результат. Если нужно что-то еще, дай знать!
