Постройте график функции ((x^8-x^7+x^6+x^5-x^4+x^3+x^2-x+1) : (x^2-x+1)) * ((2x-2x^4) : (x^9-1))
Кратко: задача упрощается до простой прямой. В действительности график функции равен линии y = -2x с дыркой в точке x = 1 (то есть исключение из домена).
Пошаговое решение и объяснения
- Пусть F(x) = ((x^8 - x^7 + x^6 + x^5 - x^4 + x^3 + x^2 - x + 1) : (x^2 - x + 1)) * ((2x - 2x^4) : (x^9 - 1)).
Первая дробь: N1(x) = x^8 - x^7 + x^6 + x^5 - x^4 + x^3 + x^2 - x + 1. Разделим N1 на D1 = x^2 - x + 1: Деление даёт: N1 = (x^2 - x + 1) (x^6 + x^3 + 1). Это означает: N1 / D1 = x^6 + x^3 + 1, при D1 ≠ 0.
Вторая дробь: N2(x) = 2x - 2x^4 = 2x(1 - x^3), D2(x) = x^9 - 1. Заметим: x^9 - 1 = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1).
Подстановка и упрощение F(x) = [(N1/D1)] * [N2/D2] = (x^6 + x^3 + 1) * [ 2x(1 - x^3) / ((x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)) ].
Упрощение за счет сокращений
- (x^6 + x^3 + 1) сокращается.
- Остальная часть: 2x(1 - x^3) / (x^3 - 1) = 2x * (-(x^3 - 1)) / (x^3 - 1) = -2x, если x^3 - 1 ≠ 0.
- Учитывание домена
- Данный исходный выражение имеет denominators:
- x^2 - x + 1 ≠ 0. Для действительных x это выражение всегда положительно (Δ = -3), значит никогда не равно нулю.
- x^9 - 1 ≠ 0. Для действительных x это равенство выполняется только при x = 1. Значит домен на реальной оси: все x кроме x = 1.
Итого получаем F(x) = -2x для всех real x, кроме x = 1. При x = 1 функция не определена (есть разрыв-дырка).
- Что это значит на графике
- График совпадает с прямой y = -2x.
- Есть дырка в точке (1, -2) (значение по формуле -2x в точке 1 не устанавливается из-за недоступности деления на нуль в исходной задаче).
- Другие разрывы отсутствуют; доменная область: (-∞, 1) ∪ (1, ∞).
- Как построить график
- Проведите прямую линию с угловым коэффициентом -2 через начало координат: y = -2x.
- Установите дырку в точке (1, -2) и пропустите её на графике.
- Можно проверить пару точек: например, x = 0 → y = 0; x = 2 → y = -4 (за пределами дырки).
Если нужно, могу привести чертёж или дать набор точек для построения на листе.
