Какие из них верные суждения?

Верные суждения: 1, 4 и 6. Неверные: 2, 3 и 5. Пояснения по каждому пункту: 1) «Византия вела постоянную борьбу со своими соседями на севере и юге» — верно. На севере и востоке были славянские племена и другие народы, на юге — арабы и другие государства Ближнего Востока; империя постоянно участвовала в военных конфликтах с соседями на разных направлениях в разные эпохи. 2) «Лев математик изобрёл оптический телеграф» — неверно. Оптический телеграф в истории обычно ассоциируется с француза́ми (Шаппе). Фразы «Лев математик» здесь не соответствуют фактам. 3) «Главой христианской церкви Константинополь был царь» — неверно. Глава православной церкви в Константинополе — патриарх; император как политический верховный правитель имел влияние, но не был главой церкви. 4) «К северу от границы Византии жили славянские племена» — верно. За границами и к северу от территории Византийской империи жили славянские племена, особенно в Балканах и по руслу Дуная в раннем средневековье. 5) «Икона — роспись красками по сырой штукатурке» — неверно. Иконы обычно пишутся на деревянных досках (реже на паперти); роспись по сырой штукатурке — это описание фрески, а не иконы. 6) «Византийских императоров подданные именовали «василевсами»» — верно. Греческое название императора — basileus, в русской исторической традиции часто передавалось как «василевс»; подданные действительно называли его таким образом в источниках.