теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. найдите собственную скорость теплохода ,если известно, что скорость течения реки 3…

Задача: теплоход прошёл 108 км по течению и 84 км против течения за 8 часов. Скорость течения реки 3 км/ч. Найти собственную скорость теплохода (в спокойной воде).

Обозначим собственную скорость теплохода за v км/ч.

• Скорость по течению: v + 3.
• Скорость против течения: v − 3.
• Время на путь по течению: 108 / (v + 3).
• Время на путь против течения: 84 / (v − 3).

Суммарное время равно 8 часам: 108/(v + 3) + 84/(v − 3) = 8.

Решение: Умножим обе стороны на (v + 3)(v − 3) = v^2 − 9: 108(v − 3) + 84(v + 3) = 8(v^2 − 9).

Раскрывая скобки: 108v − 324 + 84v + 252 = 8v^2 − 72 192v − 72 = 8v^2 − 72.

Упростим, добавив 72 к обеим сторонам: 192v = 8v^2.

Разделим на 8: 24v = v^2 → v^2 − 24v = 0 → v(v − 24) = 0.

Корни: v = 0 или v = 24. Поскольку скорость не может быть 0 и должна быть больше скорости течения (v > 3), выбираем v = 24 км/ч.

Проверка:

• Скорость по течению: 24 + 3 = 27 км/ч. Время = 108/27 = 4 часа.
• Скорость против течения: 24 − 3 = 21 км/ч. Время = 84/21 = 4 часа. Сумма времени: 4 + 4 = 8 часов. Всё верно.

Ответ: собственная скорость теплохода в спокойной воде равна 24 км/ч.