8

Решение задачи Дано: длина a = 17,9 см с погрешностью Δa = ±0,1 см; диаметр b = 3,1 см с погрешностью Δb = ±0,05 см. Предмет стержня — цилиндрический, объем V стержня = V = площадь поперечного сечения × длина = S · a, где S = π(b/2)² = (π/4) b². Тогда V = (π/4) a b². 1) Вычислим сам объем по данным без учёта погрешностей: b² = 3,1² = 9,61 a · b² = 17,9 · 9,61 = 172,019 V = (π/4) · 172,019 ≈ 0,785398 · 172,019 ≈ 135,10 см³ 2) Относительная погрешность объема. Поскольку V = (π/4) a b², то при малыx Δa, Δb относительная погрешность примерно складывается: - относительная погрешность a: δa = Δa / a = 0,1 / 17,9 ≈ 0,00559 ≈ 0,559% - относительная погрешность b: δb = Δb / b = 0,05 / 3,1 ≈ 0,01613 ≈ 1,613% Величина V пропорциональна a и квадрату b, поэтому для относительной погрешности получаем два варианта: а) консервативный (слепое суммирование погрешностей): δV ≈ δa + 2δb = 0,00559 + 2·0,01613 ≈ 0,03785 ≈ 3,785% б) более точный (сумма по квадату, метод Гейне–Крамер): δV ≈ sqrt[(δa)² + (2δb)²] ≈ sqrt[(0,00559)² + (0,03226)²] ≈ sqrt[0,0000312 + 0,001040] ≈ sqrt[0,001071] ≈ 0,0327 ≈ 3,27% 3) Вывод по качеству измерения - В данном наборе данных наименьшая относительная погрешность наблюдается в измерении длины a (≈ 0,56%), по сравнению с диаметром b (≈ 1,61%). - Хотя вклад диаметра в итоговую погрешность V значителен из-за квадрата в формуле, показатель δa всё же меньше. Практически более качественно будет измерять именно длину a, но улучшение точности измерения b оказывает больший эффект на точность объема, потому что b входит в формулу как b². Итого: - Объем V ≈ 135,1 см³. - Относительная погрешность V ≈ 3,8% (консервативная оценка) или ≈ 3,3% (точнее по квадатурному правилу). - Более качественно измерение относится к длине a (меньшая относительная погрешность), однако для улучшения точности V лучше снизить погрешность измерения b (так как вклад δb в общий результат выше).